没有无穷小的导数与中值定理
18 世纪末，微积分用起来很好，却没有人能说清楚它为什么好用。莱布尼茨的 $dx$ 是“无穷小”的量：有时把它们当作不等于零，好拿来做除数；紧接着又把它们当作零，好把它们略去。贝克莱主教在 1734 年嘲笑过这一点，称它们为“消逝的量的幽灵”。
拉格朗日为此感到不安。1797 年，他出版了一本书，书的副标题本身就是一整套纲领：
包含微分学的原理，摆脱了一切关于无穷小、消逝量、极限和流数的考虑，并归结为有限量的代数分析。
— 约瑟夫-路易·拉格朗日，《解析函数论》（1797） 导出的函数 拉格朗日的想法是：每个合理的函数都可以展开成幂级数。给变量 $x$ 一个增量 $i$，那么
$$f(x+i)=f(x)+p\,i+q\,i^2+r\,i^3+\cdots,$$其中 $p, q, r, \ldots$ 是 $x$ 的新函数。拉格朗日把其中第一个，即 $i$ 的系数，定义为 $f$ 的导出函数，并用一撇来写：$f'(x)$。$f'$ 的导数是 $f''$，依此类推。
看看这对 $f(x)=x^3$ 是怎么用的。把立方展开，
$$(x+i)^3=x^3+3x^2\,i+3x\,i^2+i^3.$$$i$ 的系数是 $3x^2$，所以 $f'(x)=3x^2$。不需要用一个后来会消失的东西做除数，也不需要略去任何东西：只要读出一个系数就行。这正是拉格朗日想要的。
请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。
留下来的一撇
今天学校里导数有两种记号：莱布尼茨的 $\frac{dy}{dx}$，和拉格朗日的 $f'(x)$。“导数”（derivative）这个词也来自这本书：fonction dérivée，即由第一个函数导出的函数。牛顿在字母上面加一点写成 $\dot y$，今天主要在物理里、当变量是时间时才会用到。 计划在哪里失败了 这个计划有一个缺陷，柯西在 1823 年指出了它：并不是每个函数都等于它的幂级数。函数
$$f(x)=e^{-1/x^2}\ \ (x\neq0),\qquad f(0)=0$$在零附近平坦到它所有的导数在那里都等于零。它在零处的幂级数是 $0+0\,i+0\,i^2+\cdots=0$，但函数本身并不是零。像拉格朗日那样从级数出发是不够的。柯西用极限的思想重建了微积分，今天教的就是他的版本。
不过，拉格朗日在途中找到了两件工具，它们在他的计划失败后保留了下来。
中值定理 第一件是中值定理，他需要用它来控制自己的级数。用今天的形式来说：如果 $f$ 在从 $a$ 到 $b$ 的区间上可导，那么两者之间至少有一点 $c$，使得
