欧拉 | Euler's Eyes

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图片来自维基共享资源，全部属于公共领域（或 CC0）：欧拉肖像：Jakob Emanuel Handmann，1753。巴塞尔 1615：马特乌斯·梅里安。约翰·伯努利：国立博物馆（CC0）。圣彼得堡科学院：G. Kachalov，继 M. Makhaev，1753。腓特烈二世：Antoine Pesne 的工作室，1745。 Analysin Infinityum 简介, 1748. 一封阿勒曼公主的信, 1768. 凯瑟琳大帝：亚历山大·罗斯林。欧拉在 1778：约瑟夫·弗里德里希·奥古斯特·达尔布。柯尼斯堡 1652：梅里安-埃尔本。桥梁图：莱昂哈德·欧拉，1736。平方根、数学时代、数字 $e$ 和弹簧部分中的图像来自以下收藏：欧拉之眼。互动人物是为本网站制作的。莱昂哈德·欧拉的所有主题 · ← 其他贡献和遗产

October 10, 2026 阅读

欧拉与函数：给规则起个名字

如果说有谁配得上“现代记号的建筑师”这个称号，那就是莱昂哈德·欧拉。他写下的数学篇幅比历史上任何人都多，而且他是为了让人读懂而写的：他的书被用来教学，他采用的约定也随着这些书传播开来。许多仿佛自古就有的符号，都经过了他的手。莱昂哈德·欧拉（1707–1783），雅各布·伊曼纽尔·汉德曼绘于 1753 年。雅各布·伊曼纽尔·汉德曼 · 公有领域 1706威廉·琼斯用 $\pi$ 表示圆周与直径之比，几乎没有人注意到。 1727在一份手稿中，欧拉把对数为 $1$ 的那个数叫作 $e$。 1734欧拉写下 $f\!\left(\frac{x}{a}+c\right)$：函数记号 $f(x)$ 诞生了。 1736在《力学》中，欧拉采用了琼斯的 $\pi$；随着《无穷分析引论》（1748），这个符号成了标准。 1755欧拉用 $\Sigma$ 表示求和。 1777欧拉用 $i$ 表示 $\sqrt{-1}$，这篇文章直到他去世后才发表。这些符号的共同点是：每一个都把一段描述变成了一个名字。在欧拉之前，要谈论一个函数，就得描述它的规则（“由 $x$ 平方再加一所构成的量”）。有了 $f(x)$ 之后，规则有了一个简短的名字，而名字可以进入别的计算：$f(x+h)-f(x)$、$f(g(x))$、$f'(x)$。函数变成了一个对象，可以像过去操作数那样操作它。关于每个符号的更多细节，请看欧拉留给我们的语言。函数：一个带空位的句子 “函数”（function）一词来自拉丁文 functio，源自动词 fungi：完成一项任务，履行一项职责。函数就是做某件事的东西。这个符号花了将近一百年才走到 $f(x)$：年份作者函数的样子 1637 勒内·笛卡儿 $x$ 与 $y$ 之间的一个方程，与一条曲线相联系 1667 詹姆斯·格雷戈里 quantitas，由其他量得到的量 1671 艾萨克·牛顿流量，流动的量 1673 莱布尼茨 functio 这个词 1718 约翰·伯努利 $\varphi x$，没有括号 1734 莱昂哈德·欧拉 $f\!\left(\frac{x}{a}+c\right)$，带括号 1837 彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷现代定义：任何一种对每个 $x$ 对应唯一 $y$ 的规则本站早期的文章提出过一种有趣的读函数的方式：把它读成一个带空位的句子。“加倍”这个函数就是

October 13, 2026 阅读

复利和欧拉数

约翰·纳皮尔 (John Napier) 对于金融领域的应用非常重要，以至于他激励莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) 涉足这一领域。无理数之一在金融领域的应用最重要的是这两位数学家。复利复利和数字 $e$ 的历史归功于 (1654-1705) 之间的雅克·伯努利 (Jacques Bernoulli)，他对使用复利技术发现贷款利息的最大价值产生了兴趣。带着初始价值积累起来的利息，他潜心研究如何让收益最大化。伯努利是如何得出这个结论的呢？假设采用单利，资本为 R$ 1，一年末利息为 100%。 $$ \begin{aligned} c_f &= c(1+p~.~t)\\ &= 1\left(1+\dfrac{100}{100}~.~1\right)\\ &= 1~.~(2)\\ &= R\$ ~2\\ \end{aligned} $$ 在这种情况下，我们在年底赚取 2 雷亚尔。但是，如果有人建议不使用1年，则利率与提高到同期的期间的倒数成正比。在本例中，他建议每月复利（12 月 = 1 年）。 $$ \begin{aligned} c_f &= c\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^t\\ &= 1\left(1+\dfrac{1}{12}\right)^{12}\\ &= R\$ ~2,61\\ \end{aligned} $$ 此人再次建议利率按日复利计算（365 天 = 1 年）。 $$ \begin{aligned} c_f &= c\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^t\\ &= 1\left(1+\dfrac{1}{365}\right)^{365}\\ &= R\$ ~2,71\\ \end{aligned} $$ 与第一个提案相比，赚取 0.71 美分似乎并不是很有优势。但如果资本为 100 雷亚尔，则 71 雷亚尔可能更有利。

October 15, 2022 阅读