820 年ごろのバグダードで、ムハンマド・イブン・ムーサー・アル＝フワーリズミーは、カリフ・マームーンの大図書館「知恵の館」で働いていました。そこで彼は、『復元と対消による計算の簡潔な書』という長い題の本を書きます。「復元」はアラビア語で al-jabr。この言葉から代数（algebra）が生まれました。 al-jabr と al-muqābala についてのアル＝フワーリズミーの本の、写本の冒頭ページ。アル＝フワーリズミー · Wikimedia Commons · パブリックドメイン この本には、記号が一つもありません。$x$ も $+$ も $=$ もありません。数さえ言葉で書かれています。いちばん有名な問題の一つは次のとおりです。 平方とその根の十倍が、三十九ディルハムに等しい。根の数の半分をとると五。それを自分自身にかけると二十五。それを三十九に加えると六十四。その根をとると八。そこから根の数の半分、つまり五を引く。三が残る。これが求める平方の根である。 — アル＝フワーリズミー、820 年ごろ（意訳） 今なら、この問題を $x^2+10x=39$、答えを $x=3$ と書くでしょう。アル＝フワーリズミーの手順は、まさに私たちが平方完成と呼ぶもので、彼はそれを図で正当化しました。一辺 $x$ の正方形に $5\times x$ の長方形を二つくっつけ、そこに $5\times5$ の小さな正方形を足すと、一辺 $x+5$、面積 $39+25=64$ の大きな正方形ができる、というものです。 アル＝フワーリズミーの図：一辺 $x$ の正方形と $5\times x$ の長方形二つの和が $39$。面積 $25$ の小さな正方形を加えると、面積 $64$、一辺 $8$ の正方形が完成する。このサイトの以前の記事をもとに、この本のために作成した説明図。 このような書き方を修辞的代数と呼びます。すべてを文で書くのです。これでもうまくいきますが、代償があります。どの問題も、特定の数をもつ小さな物語として語られ、同じ手順がほかの数でも使えることに読者が自分で気づかなければなりません。一般的な規則は、例の中に隠れているのです。 略すこと：省略代数 それよりずっと前、3 世紀のアレクサンドリアで、ディオファントスは別の方向に一歩をふみ出していました。彼は『算術』の中で、未知数に $\varsigma$ に似た文字を、その平方に $\Delta^{\Upsilon}$（dýnamis、累乗から）を、立方に $K^{\Upsilon}$（kýbos、立方体から）を使いました。引き算には、さかさまの矢じりのような記号を使いました。$x^3-2x^2+10x-1$ のような式は、おおよそ次のようになります。