História Da Matemática

As equações de Maxwell: das linhas de força de Faraday aos vetores

Fiquei quase assustado, no começo, ao ver tanta força matemática aplicada ao assunto, e depois me admirei de ver que o assunto a suportava tão bem. — Michael Faraday, carta a Maxwell (25 de março de 1857) Até 1820, eletricidade e magnetismo eram assuntos separados. A eletricidade fazia faíscas e arrepiava os cabelos; o magnetismo fazia as bússolas apontarem para o norte. Naquele ano, numa aula na Universidade de Copenhague, o dinamarquês Hans Christian Oersted ligou uma pilha a um fio e viu que uma agulha magnética próxima se mexia. A corrente elétrica produzia magnetismo.

October 14, 2026 Iniciar leitura

E = mc²: a energia escondida na massa

Ocorreu-me ainda uma consequência do trabalho sobre a eletrodinâmica. O princípio da relatividade, junto com as equações de Maxwell, exige que a massa seja uma medida direta da energia contida num corpo. A ideia é engraçada e sedutora; mas não sei se o Senhor não está rindo disso e me fazendo de bobo. — Albert Einstein, carta a Conrad Habicht (verão de 1905) Em setembro de 1905, três meses depois do artigo da relatividade, Einstein mandou aos Annalen der Physik um complemento de apenas três páginas, com um título em forma de pergunta: “A inércia de um corpo depende do seu conteúdo de energia?”. A resposta era sim, e a conclusão, escrita em palavras e com outras letras, é a fórmula mais famosa da física:

October 14, 2026 Iniciar leitura

O cálculo exponencial: derivar x elevado a x

O cálculo de Leibniz sabia derivar potências com expoente fixo, como $x^3$ ou $x^{1/2}$: a derivada de $x^n$ é $nx^{n-1}$. Mas, em 1694, numa carta a Leibniz, Johann Bernoulli pôs na mesa um bicho estranho: a expressão $$y=x^x,$$em que a base e o expoente variam ao mesmo tempo. A regra de $x^n$ não serve, porque o expoente não é fixo. A regra de $a^x$ também não, porque a base não é fixa. Em 1697, Johann publicou nas Acta Eruditorum os “princípios do cálculo exponencial”, com o método para tratar essas potências, que ele chamava de percorrentes, porque o expoente percorre valores.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Quatro quadrados bastam

Pegue um número inteiro positivo qualquer e tente escrevê-lo como soma de quadrados perfeitos, $0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots$, usando o menor número possível de parcelas: $$\begin{aligned} 5&=4+1,\\ 6&=4+1+1,\\ 7&=4+1+1+1,\\ 30&=25+4+1,\\ 2026&=2025+1=45^2+1^2. \end{aligned}$$Alguns números são quadrados, outros precisam de dois, outros de três. O 7 precisa de quatro: não há outro jeito. Será que algum número precisa de cinco? Em 1770, Lagrange provou que não: Todo número inteiro positivo é soma de quatro quadrados de inteiros.

October 14, 2026 Iniciar leitura

A Pascalina: uma soma feita por engrenagens

Em 1640, Étienne Pascal foi nomeado coletor de impostos da Normandia. O trabalho era somar colunas e colunas de valores, noite adentro, e o filho Blaise, então com 17 anos, ajudava. Para piorar, o dinheiro francês não era decimal: $$1\ \text{livra}=20\ \text{soldos},\qquad 1\ \text{soldo}=12\ \text{dinheiros}.$$Somar $3$ livras, $15$ soldos e $8$ dinheiros com $2$ livras, $7$ soldos e $9$ dinheiros exige três tipos de “vai um”: dinheiros: $8+9=17$, que é $1$ soldo e $5$ dinheiros; soldos: $15+7+1=23$, que é $1$ livra e $3$ soldos; livras: $3+2+1=6$. Resultado: $6$ livras, $3$ soldos e $5$ dinheiros. Faça isso mil vezes por noite e você vai errar. Em 1642, Blaise começou a construir uma máquina que não errasse.

October 11, 2026 Iniciar leitura

Números de Fermat: uma conjectura e um contraexemplo

Os matemáticos sempre sonharam com uma fórmula que só produzisse números primos. Em 1640, Fermat achou que tinha encontrado uma. Cinco primos seguidos Fermat estudou os números da forma $$F_n=2^{2^n}+1.$$O expoente é uma potência de 2: $1,2,4,8,16,\ldots$ Calculando os primeiros: $$F_0=3,\quad F_1=5,\quad F_2=17,\quad F_3=257,\quad F_4=65\,537.$$Os cinco são primos. Verificar $65\,537$ à mão, testando divisores até sua raiz quadrada, já dava trabalho. Fermat escreveu a Frénicle de Bessy que estava convencido de que todos os números dessa forma eram primos, embora admitisse não ter uma demonstração.

October 11, 2026 Iniciar leitura

A aritmética binária: representar números com 0 e 1

Por que contamos de dez em dez? Provavelmente porque temos dez dedos. Não há nada de especial no número 10: dá para escrever qualquer número com qualquer base. Leibniz levou essa ideia ao extremo e perguntou: qual é o menor número de algarismos com que se consegue escrever tudo? A resposta é dois: 0 e 1. Cada posição vale o dobro Os números de 0 a 32 escritos em binário, na tabela do artigo Explicação da aritmética binária, que Leibniz publicou em 1703 nas memórias da Academia de Ciências de Paris.G. W. Leibniz (1703) · Wikimedia Commons · domínio público No sistema decimal, as posições valem 1, 10, 100, 1000… e cada algarismo diz quantas vezes usamos aquele valor. No sistema binário, as posições valem 1, 2, 4, 8, 16, 32… e cada algarismo só pode dizer sim (1) ou não (0).

October 11, 2026 Iniciar leitura

O método de Newton: aproximar raízes com tangentes

Algumas equações não têm fórmula. Não existe uma “Bhaskara” para $e^x+x-3=0$, e a fórmula das equações de terceiro grau é tão trabalhosa que quase ninguém a usa. Nesses casos, o jeito é aproximar: chutar um valor, ver o quanto erramos e corrigir o chute. A questão é como corrigir bem. O exemplo de Newton No De analysi, de 1669, Newton escolheu a equação $$y^3-2y-5=0.$$Testando, ele viu que a raiz fica perto de $2$, porque $2^3-2\cdot2-5=-1$. Então escreveu $y=2+p$, onde $p$ é a correção que falta, e substituiu:

October 11, 2026 Iniciar leitura

O teorema fundamental da álgebra

Na tese de doutorado, em 1799, Gauss provou que todo polinômio de grau $n$ tem $n$ raízes, desde que se aceitem os números complexos. Por exemplo, $x^2 + 1 = 0$ não tem solução real, mas tem duas complexas: $$x^2 + 1 = (x - i)(x + i).$$ Gauss também popularizou o jeito de desenhar os números complexos como pontos de um plano, o plano complexo: $a + bi$ é o ponto $(a, b)$. O norueguês Caspar Wessel (1797) e o suíço Jean-Robert Argand (1806) tiveram a mesma ideia, mas quase ninguém leu seus trabalhos; foi a fama de Gauss, a partir de 1831, que espalhou o desenho. Por isso ele também se chama plano de Argand-Gauss. E aí aparece uma ligação bonita com o polígono de 17 lados. As três raízes de $x^3 = 1$ são

October 10, 2026 Iniciar leitura

Os ângulos dos poliedros e a fórmula de Euler

Num vértice de um cubo se encontram três quadrados, e os ângulos deles somam $3 \times 90° = 270°$. Faltam $90°$ para completar uma volta: esse é o defeito do vértice. Por volta de 1630, Descartes descobriu que, num poliedro convexo, a soma dos defeitos de todos os vértices é sempre 720°. Poliedro Ângulos num vértice Defeito Vértices Soma Tetraedro 3 × 60° = 180° 180° 4 720° Cubo 3 × 90° = 270° 90° 8 720° Octaedro 4 × 60° = 240° 120° 6 720° Dodecaedro 3 × 108° = 324° 36° 20 720° Icosaedro 5 × 60° = 300° 60° 12 720° As faces em volta de um vértice, abertas no plano. A fatia vermelha é o defeito, o ângulo que falta para completar 360°. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 10, 2026 Iniciar leitura

A fórmula de Euler e a "equação mais bonita"

O número $e$ pode ser escrito como uma série: $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$$ Euler teve a coragem de colocar um número imaginário no expoente. Trocando $x$ por $i\theta$ e usando $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$: $$e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + i\frac{\theta^5}{5!} - \cdots$$ Separando os termos sem $i$ dos termos com $i$:

October 10, 2026 Iniciar leitura

A Enigma: 159 quintilhões de chaves e um defeito

Uma máquina Enigma de três rotores, exposta no Museu Nacional de Criptologia, da agência de segurança americana. Em cima, os rotores; no meio, as lâmpadas; embaixo, o teclado; na frente, o painel de conexões.National Security Agency · Wikimedia Commons · domínio público A Enigma parecia uma máquina de escrever dentro de uma caixa de madeira. O operador apertava uma letra no teclado e outra letra se acendia num painel de lâmpadas. Um segundo operador anotava as letras acesas, e essa sequência era transmitida por rádio, em código Morse. Do outro lado, um operador com uma máquina igual, ajustada da mesma maneira, digitava a mensagem cifrada e lia o texto original nas lâmpadas.

October 16, 2026 Iniciar leitura