História Da Matemática

Áreas e integração: o caminho inverso das fluxões

Medir áreas de figuras curvas é um dos problemas mais antigos da matemática. Arquimedes, por volta de 250 a.C., mostrou que a área de um segmento de parábola é $\frac43$ da área de um triângulo inscrito nele. Foi um feito genial, mas feito sob medida: cada curva nova exigia uma ideia nova. No século XVII, Fermat, Cavalieri, Wallis e outros já sabiam calcular a área sob $y=x^n$ para vários valores de $n$. Faltava uma regra geral. E faltava perceber algo que Newton e Leibniz perceberam, cada um por seu caminho: calcular áreas e calcular taxas de variação são operações inversas.

October 11, 2026 Iniciar leitura

A aritmética do relógio

Se agora são 15 h, que horas serão daqui a 10 horas? Não são “25 h”, e sim 1 h da manhã: no relógio, depois do 24 a conta recomeça. Gauss deu nome e símbolo a essa ideia nas Disquisitiones: $$25 \equiv 1 \pmod{24}$$ Lê-se “25 é côngruo a 1, módulo 24”: os dois deixam o mesmo resto na divisão por 24. O símbolo $\equiv$ funciona quase como um sinal de igual: dá para somar e multiplicar dos dois lados.

October 10, 2026 Iniciar leitura

A regra dos sinais

Quantas raízes positivas pode ter um polinômio? Descartes deu uma regra simples: o número de raízes positivas é no máximo o número de trocas de sinal entre coeficientes consecutivos (e, como se provou depois, difere dele por um número par). Veja com $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$. Os sinais dos coeficientes são $+\ -\ +\ -$: três trocas. Então há 3 ou 1 raízes positivas. De fato, $$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3),$$ com raízes 1, 2 e 3.

October 10, 2026 Iniciar leitura

O número $e$ e os juros compostos

Banca, trapeza, mensa: a mesa dos primeiros banqueiros, entre 1450 e 1650. Daí vêm as palavras banco e bancário.Acervo Euler’s Eyes Antes de chegar a Euler, o número $e$ passou pelos bancos. O vocabulário do dinheiro vem do latim: depositum (o que se pôs, de ponere), creditum (o que se confiou, de credere, acreditar) e juro (de jus, juris, o direito).

October 10, 2026 Iniciar leitura

A máquina universal: o programa também é um dado

Cada máquina de Turing faz uma coisa só. A que soma 1 soma 1; a que escreve $\frac17$ escreve $\frac17$. Para fazer outra conta, seria preciso outra máquina. Em 1936, isso era o normal: as calculadoras mecânicas, os tabuladores de cartões e as máquinas de tábuas de maré eram construídos para uma tarefa, e trocar de tarefa era trocar de máquina ou religar fios. No mesmo artigo, Turing mostrou que isso não é necessário.

October 16, 2026 Iniciar leitura

Dividir a lemniscata com régua e compasso

Em 1694, Jakob Bernoulli estudou uma curva em forma de oito deitado, que chamou de lemniscus, uma fita de laço. Com os focos nos pontos $(\pm\frac1{\sqrt2},0)$, ela é o conjunto dos pontos cujo produto das distâncias aos dois focos vale $\frac12$. A equação é $$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2,$$ou, em coordenadas polares, $r^2=\cos2\theta$. Abel, um século e meio depois, provou sobre ela um teorema que parece saído do livro de Euclides: para que números $n$ dá para dividir a lemniscata em $n$ arcos de mesmo comprimento usando só régua e compasso?

October 15, 2026 Iniciar leitura

Os imaginários de Galois: os corpos finitos

Em junho de 1830, aos 18 anos, Galois publicou um artigo curto, Sobre a teoria dos números, num boletim científico de Paris. Nele inventou números novos, que chamou de imaginários, para um mundo em que só existem finitos números. Por mais de um século, o artigo pareceu uma curiosidade. Hoje, ele está dentro de todo celular. Contar com restos Na aritmética do relógio, contamos só com os restos da divisão por um número fixo. Com o número 5, só existem $0, 1, 2, 3, 4$, e as contas “dão a volta”:

October 15, 2026 Iniciar leitura

Os ossos de Napier: multiplicar com barras

Os logaritmos serviam para os grandes cálculos da astronomia. Para as contas do dia a dia, Napier inventou outra coisa, publicada em 1617, o ano da sua morte, num livrinho chamado Rabdologia, do grego rhabdos, vara, e lógos, cálculo: cálculo com varetas. As barras Cada barra, ou “osso”, porque as mais caras eram feitas de marfim, traz no alto um algarismo de 0 a 9 e, embaixo, os seus múltiplos de 1 a 9, em nove quadradinhos cortados por uma diagonal. Acima da diagonal fica a dezena; abaixo, a unidade. A barra do 7, por exemplo, mostra $0/7$, $1/4$, $2/1$, $2/8$, $3/5$, $4/2$, $4/9$, $5/6$, $6/3$.

October 15, 2026 Iniciar leitura

A álgebra feita com quadrados e retângulos

Se uma reta for cortada ao acaso, o quadrado sobre a reta toda é igual aos quadrados sobre os segmentos e duas vezes o retângulo contido pelos segmentos. — Euclides, Elementos, Proposição II.4 Os gregos não tinham letras para as incógnitas, nem sinais de mais e de menos, nem o sinal de igual. Quando queriam falar de $a\cdot b$, falavam de um retângulo de lados $a$ e $b$; quando queriam $a^2$, falavam de um quadrado de lado $a$. As palavras “quadrado” e “cubo”, que usamos para as potências, vêm daí. O Livro II dos Elementos é inteiro feito assim: são identidades da álgebra, enunciadas e provadas como fatos sobre áreas. Os historiadores o chamam de álgebra geométrica.

October 14, 2026 Iniciar leitura

A arte de conjecturar: contar as chances

Conjecturar uma coisa é medir a sua probabilidade. Por isso definimos a arte de conjecturar, ou estocástica, como a arte de medir o mais exatamente possível as probabilidades das coisas, para que, nos nossos juízos e ações, possamos sempre escolher ou seguir aquilo que nos pareça melhor, mais satisfatório, mais seguro ou mais ponderado. — Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713), parte IV Em 1654, Pascal e Fermat trocaram cartas sobre como dividir o dinheiro de um jogo interrompido. Em 1657, o holandês Christiaan Huygens publicou um livrinho de quinze páginas sobre os cálculos dos jogos de dados. Eram problemas de salão: dados, cartas, apostas.

October 14, 2026 Iniciar leitura

A identidade de Sophie Germain: fatorar o que parece primo

Há números que parecem primos e não são. O $629$, por exemplo, não é par, não termina em 5 e não é múltiplo de 3. Mas $629=5^4+4$, e essa forma o entrega: ele se fatora por uma identidade que leva o nome de Sophie Germain. A identidade Para quaisquer números $a$ e $b$, $$\begin{aligned}a^4+4b^4={}&\left(a^2+2b^2+2ab\right)\\&\times\left(a^2+2b^2-2ab\right).\end{aligned}$$O truque para descobri-la é completar o quadrado, como na fórmula de Bhaskara. A soma $a^4+4b^4$ é quase o quadrado de $a^2+2b^2$; falta só o termo do meio, $4a^2b^2$. Somando e subtraindo esse termo,

October 14, 2026 Iniciar leitura

A solução de barganha de Nash

Apresenta-se um novo tratamento de um problema econômico clássico, que aparece em muitas formas, como a barganha e o monopólio bilateral. — John Nash, The Bargaining Problem (1950) Em 1948, ainda aluno de graduação no Carnegie Institute of Technology, Nash fez um curso de economia internacional, o único curso de economia da sua vida. Saiu dele com uma pergunta: quando duas pessoas negociam, como dividem os ganhos de um acordo? Os economistas achavam que a resposta dependia da psicologia, da habilidade e do blefe de cada um, e que não havia nada a dizer em geral. Nash mostrou que, se o acordo tiver de satisfazer algumas exigências razoáveis, só existe uma resposta possível. O trabalho, escrito antes de ele chegar a Princeton, foi publicado em 1950 na revista Econometrica.

October 14, 2026 Iniciar leitura