História Da Matemática

Quando uma equação se resolve por radicais

Com a ideia de grupo de uma equação, Galois respondeu à pergunta que tinha ficado aberta depois de Abel: quais equações se resolvem por radicais? A resposta não depende de nenhum truque. Depende só da forma do grupo. Cada raiz corta o grupo Resolver uma equação por radicais é ir acrescentando raízes, uma de cada vez, aos números que já se conhecem. No começo, conhecemos só os números racionais, e o grupo da equação é inteiro. Cada vez que acrescentamos uma raiz, como $\sqrt3$ ou $\sqrt[3]{5}$, aparecem novas relações verdadeiras, e menos permutações as respeitam. O grupo encolhe. Quando o grupo vira só a identidade, todas as raízes da equação estão escritas com os números conhecidos: a equação está resolvida.

October 15, 2026 Iniciar leitura

A braquistócrona: o desafio de 1696

Dados dois pontos A e B num plano vertical, encontrar a curva AMB pela qual um corpo móvel M, descendo pelo próprio peso, vai de A a B no menor tempo possível. — Johann Bernoulli, Acta Eruditorum (junho de 1696) Em junho de 1696, nas Acta Eruditorum, Johann Bernoulli desafiou “os matemáticos mais perspicazes do mundo inteiro”. A pergunta parece de parque de diversões: qual é o formato do escorregador mais rápido entre dois pontos? O nome do problema vem do grego: brachistos, o mais curto, e chronos, tempo. Braquistócrona, a curva do menor tempo.

October 14, 2026 Iniciar leitura

A espiral maravilhosa e a lemniscata

Com o cálculo de Leibniz nas mãos, os irmãos Bernoulli saíram à caça de curvas. Para cada uma perguntavam: qual é a tangente, qual é o comprimento, qual é a área, qual é a curvatura? Muitas dessas curvas eram conhecidas desde os gregos, mas só agora se podia responder a essas perguntas com uma regra geral. Duas ficaram para sempre com o nome de Jakob. A espiral que não muda de forma A espiral logarítmica já tinha sido estudada por Descartes e por Torricelli. Em coordenadas polares, em que cada ponto é dado pela distância $r$ ao centro e pelo ângulo $\theta$, ela é

October 14, 2026 Iniciar leitura

A relatividade especial: um relógio feito de luz

Se eu perseguir um raio de luz com a velocidade c, a velocidade da luz no vácuo, deveria ver esse raio como um campo eletromagnético em repouso, oscilando no espaço. Mas parece que tal coisa não existe. — Albert Einstein, Notas autobiográficas (1949) Aos 16 anos, no colégio de Aarau, Einstein se fez uma pergunta: o que eu veria se corresse ao lado de um raio de luz, na mesma velocidade? Segundo a física de Newton, a luz pareceria parada, como um carro ao lado do nosso na estrada. Mas as equações de Maxwell não admitem luz parada: para elas, a luz sempre anda a $c\approx300\,000$ km/s. Alguém estava errado. Einstein levou dez anos para descobrir quem.

October 14, 2026 Iniciar leitura

As velocidades das moléculas: a distribuição de Maxwell

Ocupei-me ultimamente de algumas questões sobre o movimento e as colisões de esferas perfeitamente elásticas, como exercício de mecânica. — James Clerk Maxwell, carta a George Stokes (30 de maio de 1859) Num litro de ar há cerca de $2{,}5\times10^{22}$ moléculas, todas se movendo e se chocando bilhões de vezes por segundo. Seguir cada uma é impossível. Em 1859, Maxwell teve uma ideia que mudou a física: não perguntar o que faz cada molécula, mas que fração delas tem cada velocidade. Era a primeira vez que se usavam probabilidades numa lei da física. Ele apresentou o resultado num congresso em Aberdeen, em 1859, e o publicou em 1860.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Estratégias mistas: o pênalti e o par ou ímpar

Todo jogo finito tem um ponto de equilíbrio. — John Nash, Non-Cooperative Games, tese de doutorado (1950) Alguns jogos não têm equilíbrio nenhum se cada jogador escolher uma jogada fixa. O mais simples é o par ou ímpar. Ana escolhe “par”, Bruno escolhe “ímpar”, e cada um mostra um ou dois dedos. Se a soma for par, Ana ganha um ponto; se for ímpar, ganha Bruno. Reduzindo cada escolha a “um” ou “dois” dedos, os ganhos são:

October 14, 2026 Iniciar leitura

O teorema de Pitágoras à moda de Euclides

Nos triângulos retângulos, o quadrado sobre o lado que subtende o ângulo reto é igual aos quadrados sobre os lados que contêm o ângulo reto. — Euclides, Elementos, Proposição I.47 Muito antes dos gregos, os agrimensores do Egito, que remarcavam os campos depois de cada cheia do Nilo, eram chamados de esticadores de corda. Conta-se que usavam uma corda com 12 nós igualmente espaçados: esticada num triângulo de lados 3, 4 e 5, ela dava um ângulo reto. Os babilônios conheciam muito mais: uma tabuleta de barro de cerca de 1800 a.C., a Plimpton 322, traz uma lista de triângulos retângulos com lados inteiros, alguns enormes, como 3 367, 3 456 e 4 825.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Os pontos de Lagrange: onde a gravidade se equilibra

Em 25 de dezembro de 2021, um foguete partiu da Guiana Francesa levando o telescópio espacial James Webb. Ele não foi colocado em órbita da Terra, como o Hubble. Viajou um mês até um ponto vazio do espaço, a 1,5 milhão de quilômetros daqui, sempre do lado oposto ao Sol, e ficou lá. O endereço desse ponto sai de um trabalho premiado de Lagrange, de 1772. Chama-se L2. Três corpos Newton resolveu por completo o movimento de dois corpos que se atraem, como o Sol e um planeta: cada um descreve uma elipse. Com três corpos, por exemplo o Sol, a Terra e a Lua, tudo se complica. Cada corpo puxa os outros dois, e o movimento pode ficar caótico. Os matemáticos do século XVIII sabiam que não ia ser fácil, e a Academia de Paris pôs o problema várias vezes como tema de prêmio.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Os primos de Sophie Germain e a criptografia

Um número primo $p$ é um primo de Sophie Germain quando $2p+1$ também é primo. O $5$ é, porque $11$ é primo. O $7$ não é, porque $15=3\cdot5$. A lista começa assim: $$2,\ 3,\ 5,\ 11,\ 23,\ 29,\ 41,\ 53,\ 83,\ 89,\ 113,\ 131,\ldots$$O primo $2p+1$ que acompanha cada um é chamado de primo seguro: $5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, \ldots$ Sophie Germain precisou deles para o seu teorema sobre Fermat. Dois séculos depois, eles protegem as conexões da internet.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Os dados do Cavaleiro de Méré e a partilha justa

Antoine Gombaud, que se apresentava como Cavaleiro de Méré, era um escritor da corte francesa e um jogador apaixonado. Por volta de 1654, levou a Pascal duas perguntas sobre apostas. Pascal achou as perguntas tão boas que escreveu a Pierre de Fermat, e daquelas cartas nasceu a teoria das probabilidades. Sobre o amigo, Pascal comentou com Fermat: Ele tem muito bom espírito, mas não é geômetra; e isso, como o senhor sabe, é um grande defeito. — Blaise Pascal, carta a Fermat (29 de julho de 1654)

October 11, 2026 Iniciar leitura

O pequeno teorema de Fermat: potências e restos

Pegue o número 2 e eleve a potências cada vez maiores. Divida cada resultado por 7 e anote o resto: Potência $2^1$ $2^2$ $2^3$ $2^4$ $2^5$ $2^6$ Valor 2 4 8 16 32 64 Resto por 7 2 4 1 2 4 1 Em $2^6$, o resto é 1. Agora tente com 3 e o primo 5: $3^4=81$, que deixa resto 1 na divisão por 5. E com 10 e o primo 13: $10^{12}=1\,000\,000\,000\,000$, que também deixa resto 1 na divisão por 13.

October 11, 2026 Iniciar leitura

O símbolo ∫: da soma à acumulação

Em 29 de outubro de 1675, Leibniz estava em Paris trabalhando num problema de áreas. Até ali, ele escrevia omn., abreviação do latim omnia, “todos”, para indicar a soma de todas as linhas de uma figura, como fazia o italiano Cavalieri. No meio da página, escreveu: Será útil escrever ∫ em vez de omn. — Leibniz, manuscrito de 29 de outubro de 1675 O símbolo $\int$ é um S alongado, de summa, soma. Na época, o S comprido era uma letra comum na escrita. Desde então, nunca mais foi substituído.

October 11, 2026 Iniciar leitura