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Fermat e Pascal: a divisão justa de um jogo interrompido

Dois jogadores apostam o mesmo valor num jogo de várias rodadas: ganha tudo quem vencer primeiro um certo número delas. No meio da partida, o jogo precisa ser interrompido. Como dividir o dinheiro de forma justa? Esse é o problema dos pontos. Parece simples, mas derrubou matemáticos por mais de 150 anos. A resposta errada Em 1494, o frade italiano Luca Pacioli propôs dividir o prêmio na proporção das rodadas já ganhas. Se A ganhou 2 rodadas e B ganhou 1, A leva $\frac23$ do prêmio.

October 11, 2026 Iniciar leitura
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A máquina de Leibniz: transformar contas em movimentos

Em 1642, o jovem Blaise Pascal construiu uma máquina para ajudar o pai, que era cobrador de impostos. A pascalina somava e subtraía girando engrenagens. Para multiplicar, porém, era preciso repetir a soma à mão, várias vezes. Leibniz viu uma pascalina em Paris e quis ir além: uma máquina que multiplicasse e dividisse sozinha. Multiplicar é somar e deslocar O truque é o mesmo da conta armada que aprendemos na escola. Para multiplicar $23\times14$, separamos o 14 em $4+10$:

October 11, 2026 Iniciar leitura
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As leis do movimento: forças e mudanças de velocidade

Para Aristóteles, um corpo só se move enquanto alguém o empurra. Pare de empurrar a carroça e ela para. Parece óbvio, e foi aceito por quase dois mil anos. Galileu desconfiou. Fazendo bolas rolarem em planos inclinados, percebeu que, quanto mais lisa a superfície, mais longe a bola ia. Sem atrito nenhum, ela nunca pararia. Descartes chegou a uma ideia parecida. Newton juntou essas pistas e, nos Principia de 1687, escreveu três leis que se tornaram a base de toda a mecânica.

October 11, 2026 Iniciar leitura
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Contando os números primos

Euler provou que os primos nunca acabam (veja o capítulo dele). Mas quantos são? Aos 15 anos, Gauss passava o tempo livre contando primos em tabelas, de mil em mil. Percebeu que, perto de um número $x$, mais ou menos 1 em cada $\ln x$ números é primo. Daí a estimativa: a quantidade de primos até $x$, que chamamos de $\pi(x)$, é parecida com $$\pi(x) \approx \frac{x}{\ln x}, \qquad \text{ou melhor ainda,} \qquad \pi(x) \approx \text{Li}(x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln t}.$$ $x$ Primos até $x$ $x / \ln x$ $\text{Li}(x)$ 100 25 21,7 29,1 1 000 168 144,8 176,6 10 000 1 229 1 085,7 1 245,1 100 000 9 592 8 685,9 9 628,8 1 000 000 78 498 72 382,4 78 626,1 O computador conta os primos de verdade (em azul) e compara com as estimativas de Gauss. Quanto maior x, menor o erro em porcentagem. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 10, 2026 Iniciar leitura
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O teorema dos círculos que se beijam

Na carta de 1643 à princesa Elisabeth, Descartes tratou de quatro círculos tangentes dois a dois. Chame de curvatura de um círculo o inverso do raio, $k = \frac{1}{r}$. O teorema diz que as curvaturas satisfazem $$(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2\left(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2\right).$$ Aplicação: três moedas iguais de raio 1 se tocam duas a duas. Qual o raio do círculo que cabe no buraco entre elas? Com $k_1 = k_2 = k_3 = 1$ e $k_4 = k$:

October 10, 2026 Iniciar leitura
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A mola e as equações diferenciais

Uma equação diferencial é uma equação em que a incógnita é uma função, e a equação fala das suas derivadas. Euler organizou esse caminho num esquema que usamos até hoje: observar um fenômeno, escrever a equação, encontrar a função que a resolve e desenhar o gráfico. O esquema de Euler: fenômeno → equação diferencial → função solução → gráfico. A derivada ainda aponta os pontos de máximo e de mínimo.Acervo Euler’s Eyes O fenômeno. Em 1678, Robert Hooke resumiu o comportamento de uma mola em latim: ut tensio, sic vis, “como a extensão, assim a força”. Uma mola de constante $k$, esticada de $x$, puxa de volta com força $F = -kx$.

October 10, 2026 Iniciar leitura
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Banburismo: pesar indícios em decibans

A bomba era rápida, mas não o bastante para testar todas as ordens de rotores da Enigma naval. Em 1940, Turing inventou um método de lápis e papel para descartar a maioria delas antes de ligar as máquinas. Como as folhas usadas no método eram impressas na cidade de Banbury, os colegas o batizaram de banburismo. O método é estatístico. E, para fazê-lo, Turing reinventou uma das ideias centrais da estatística moderna.

October 16, 2026 Iniciar leitura
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O legado de Évariste Galois

Esta carta, se julgada pela novidade e pela profundidade das ideias que contém, é talvez o escrito mais substancial de toda a literatura da humanidade. — Hermann Weyl, Simetria (1952) Galois deixou umas sessenta páginas de matemática, e boa parte delas escrita às pressas. Demorou meio século para que fossem entendidas. Quando foram, mudaram a própria ideia do que é a matemática: em vez de estudar números e figuras, estudar as transformações que os deixam iguais.

October 15, 2026 Iniciar leitura
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O legado de John Napier

Ao reduzir a poucos dias um trabalho de vários meses, a invenção dos logaritmos duplicou, por assim dizer, a vida dos astrônomos. — Frase atribuída a Pierre-Simon Laplace Poucas invenções se espalharam tão depressa. Em menos de dez anos, os logaritmos estavam em uso na Inglaterra, na Holanda, na Alemanha e na Itália. Por três séculos e meio, foram a principal ferramenta de cálculo da humanidade. Kepler O primeiro grande usuário foi Johannes Kepler, que viu as tábuas de Napier em 1617 e ficou entusiasmado. Escreveu em 1619 uma carta de agradecimento ao barão escocês, sem saber que ele estava morto havia dois anos, e dedicou-lhe as suas Efemérides de 1620. Kepler calculou as suas próprias tábuas de logaritmos e as usou nas Tábuas Rudolfinas, de 1627, as tabelas de posições dos planetas mais precisas da época, que confirmaram as órbitas elípticas.

October 15, 2026 Iniciar leitura
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O legado de Niels Henrik Abel

Abel deixou aos matemáticos trabalho para cento e cinquenta anos. — Frase atribuída a Charles Hermite Abel trabalhou como matemático por menos de oito anos. Nesse tempo, fechou a questão mais antiga da álgebra, deu rigor às séries, criou as funções elípticas e escreveu uma memória que só foi entendida inteiramente décadas depois da sua morte. O seu nome está hoje em mais lugares da matemática que o de quase qualquer outro: grupos abelianos, integrais abelianas, funções abelianas, variedades abelianas, o teorema de Abel, a soma de Abel, o teste de Abel.

October 15, 2026 Iniciar leitura
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A curvatura média: de quanto uma superfície se dobra

Para escrever a equação das placas vibrantes, Sophie Germain precisou responder a uma pergunta que parece simples: quanto uma superfície está dobrada num ponto? A resposta dela, a curvatura média, é usada até hoje para estudar bolhas de sabão, membranas de células e cascas de avião. A curvatura de uma curva Comecemos por uma linha. Uma reta não se dobra, e dizemos que a sua curvatura é zero. Um círculo se dobra igualmente em todos os pontos, e quanto menor ele é, mais se dobra. Por isso a curvatura de um círculo de raio $R$ é definida como

October 14, 2026 Iniciar leitura
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A derivada sem infinitésimos e o teorema do valor médio

No fim do século XVIII, o cálculo funcionava muito bem e ninguém sabia explicar direito por quê. Os $dx$ de Leibniz eram quantidades “infinitamente pequenas”: às vezes eram tratadas como se fossem diferentes de zero, para poder dividir por elas, e logo depois como se fossem zero, para poder desprezá-las. O bispo Berkeley tinha zombado disso em 1734, chamando-as de “fantasmas de quantidades mortas”. Lagrange se incomodava com isso. Em 1797, publicou um livro com um subtítulo que é um programa inteiro:

October 14, 2026 Iniciar leitura