História Da Matemática

A régua de cálculo: logaritmos que deslizam

Uma tábua de logaritmos ainda exige procurar números, somar e procurar de novo. Poucos anos depois de Napier, os ingleses perceberam que era possível pôr os logaritmos numa régua e fazer a soma com as mãos. A escala de Gunter Em 1620, o astrônomo Edmund Gunter, colega de Briggs no Gresham College, desenhou uma régua em que cada número $x$ ficava a uma distância proporcional a $\log x$ da marca do 1:

October 15, 2026 Iniciar leitura

Duplicar o cubo e trissectar o ângulo: as construções impossíveis

Os gregos deixaram três problemas de construção que ninguém conseguiu resolver com régua e compasso, as ferramentas dos Elementos de Euclides: Duplicar o cubo: construir a aresta de um cubo com o dobro do volume de um cubo dado. Trissectar o ângulo: dividir um ângulo qualquer em três partes iguais. Quadrar o círculo: construir um quadrado com a mesma área de um círculo dado. Conta a lenda que, durante uma peste, o oráculo de Delos mandou os atenienses dobrarem o altar de Apolo, que tinha a forma de um cubo. Eles dobraram a aresta, o volume ficou oito vezes maior, e a peste continuou. Por dois mil anos, os matemáticos tentaram. A resposta só veio no século XIX, com as ideias de Gauss e de Galois: é impossível.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Grupos abelianos: quando a ordem não importa

Calçar a meia e depois o sapato não dá o mesmo resultado que calçar o sapato e depois a meia. Somar 3 e depois 5 dá o mesmo que somar 5 e depois 3. Quando a ordem de duas operações não muda o resultado, dizemos que elas comutam. A palavra que os matemáticos usam para as estruturas em que tudo comuta é uma homenagem a Abel: abeliano. A última memória Depois de provar que a equação geral do quinto grau não tem fórmula, Abel quis saber quais equações têm. Em 1829, num dos últimos artigos que publicou no Jornal de Crelle, estudou uma família especial: as equações em que todas as raízes podem ser obtidas de uma delas, $x$, por funções racionais $\theta_1(x), \theta_2(x),\dots$ que comutam entre si:

October 15, 2026 Iniciar leitura

A corrente de deslocamento: o termo que faltava

Das quatro equações de Maxwell, três já eram conhecidas de alguma forma antes dele: a de Gauss, a do magnetismo e a de Faraday. A quarta, a de Ampère, também, mas estava incompleta. O que Maxwell acrescentou a ela foi um único termo, $\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}$. Parece pouco. Foi esse termo que fez a eletricidade e o magnetismo virarem luz. A lei de Ampère Em 1826, o francês André-Marie Ampère encontrou a regra que liga uma corrente ao campo magnético em volta dela. Em linguagem de hoje: se você percorre um caminho fechado em volta de um fio e soma a componente do campo magnético ao longo do caminho, o resultado é proporcional à corrente $I$ que atravessa qualquer superfície apoiada nesse caminho:

October 14, 2026 Iniciar leitura

A relatividade geral: do elevador ao eclipse de Sobral

Eu estava sentado numa cadeira no escritório de patentes de Berna quando, de repente, me ocorreu um pensamento: se uma pessoa cai livremente, ela não sente o próprio peso. Fiquei espantado. Esse pensamento simples me causou uma impressão profunda. Ele me impeliu para uma teoria da gravitação. — Albert Einstein, sobre uma ideia de 1907 A relatividade de 1905 tinha um defeito: não incluía a gravidade. A lei de Newton diz que o Sol atrai a Terra instantaneamente, através de 150 milhões de quilômetros, e a relatividade diz que nada viaja mais rápido que a luz. Einstein passou oito anos tentando consertar isso. O ponto de partida foi o que ele chamou de “o pensamento mais feliz da minha vida”.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Amassar sem esticar: o teorema da imersão

Pegue uma folha de papel. Você pode enrolá-la num cilindro sem rasgar nem esticar: as distâncias medidas sobre a folha, com uma régua flexível, continuam as mesmas. Mas não consegue embrulhar uma bola com ela sem fazer pregas. A folha e a esfera têm geometrias internas diferentes, e Gauss provou em 1827 que essa diferença, a curvatura, não muda quando a superfície é dobrada sem esticar. No século XIX, Bernhard Riemann teve uma ideia ainda mais ousada: descrever uma superfície, ou um espaço de qualquer dimensão, só pelas suas medidas internas, sem desenhá-la em lugar nenhum. Basta uma regra, a métrica, que diz como medir o comprimento de qualquer curva. É assim que a relatividade geral descreve o espaço-tempo: por dentro, sem um espaço maior em volta.

October 14, 2026 Iniciar leitura

As figuras de Chladni e o prêmio das placas vibrantes

Espalhe areia sobre uma placa de metal presa pelo centro e passe um arco de violino na borda. A placa começa a cantar, e a areia, como se tivesse vontade própria, foge de alguns lugares e se junta em outros, desenhando linhas, cruzes, estrelas e curvas simétricas. Mude a nota, e o desenho muda. São as figuras de Chladni. Como se excita uma placa de Chladni: a placa é presa pelo centro e o arco de violino passa pela borda. Gravura de um livro de 1879.Autor desconhecido, 1879 · Wikimedia Commons · domínio público O som que se vê O alemão Ernst Chladni publicou essas figuras em 1787, num livro chamado Descobertas sobre a teoria do som. A explicação qualitativa é simples. Quando a placa vibra, quase todos os seus pontos sobem e descem, e jogam a areia para longe. Mas algumas linhas ficam paradas: são as linhas nodais. A areia escorrega para lá e fica. O desenho é um mapa dos lugares onde a placa não se mexe.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O algoritmo de Euclides: o máximo divisor comum

O algoritmo de Euclides é o avô de todos os algoritmos, porque é o mais antigo algoritmo não trivial que sobreviveu até os dias de hoje. — Donald Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 2 (1969) Você tem duas varas, uma de 252 cm e outra de 105 cm, e quer encontrar a maior régua que mede as duas exatamente, um número inteiro de vezes. Em linguagem de hoje, quer o máximo divisor comum, $\operatorname{mdc}(252,105)$. Pode-se listar todos os divisores de cada número e procurar o maior em comum, mas com números grandes isso é impraticável. No Livro VII dos Elementos, Euclides ensina um caminho muito mais rápido.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O princípio dos trabalhos virtuais

Em todo equilíbrio de forças quaisquer, de qualquer maneira que estejam aplicadas, a soma das energias positivas será igual à soma das energias negativas. — Johann Bernoulli, carta a Pierre Varignon (26 de janeiro de 1717) Desde Arquimedes, cada máquina simples tinha a sua própria explicação. A alavanca obedecia à lei dos braços; o plano inclinado, a uma decomposição de forças inventada por Stevin; a roldana, a um raciocínio sobre as cordas; o parafuso, a outro. Em 1717, numa carta ao amigo francês Pierre Varignon, Johann Bernoulli mostrou que todas essas leis são casos de um único princípio.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O teorema de ouro: a lei dos grandes números

Até o mais tolo dos homens, por algum instinto da natureza, sozinho e sem nenhuma instrução, está convencido de que, quanto mais observações forem feitas, menor é o perigo de errar o alvo. — Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713), parte IV Com um dado, sabemos de antemão a chance de cada face: $\frac16$. Mas qual é a chance de um homem de 40 anos viver mais vinte? De chover amanhã? De um remédio funcionar? Nesses casos não há faces iguais para contar. Jakob propôs outro caminho: observar muitas vezes e usar a frequência como estimativa da probabilidade. Se, de muitos homens de 40 anos, metade chegou aos 60, a chance deve ser perto de metade.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Permutar as raízes: o teorema de Lagrange

Em 1770, a álgebra tinha um problema parado havia mais de dois séculos. Existiam fórmulas para resolver as equações de grau 2, a de Bhaskara, e também as de grau 3 e 4, publicadas por Cardano em 1545. Para o grau 5, ninguém achava nada. Os melhores matemáticos tinham tentado, e cada método que funcionava até o grau 4 emperrava no 5. Lagrange não tentou mais um método. Fez uma pergunta diferente: por que os métodos antigos funcionam?

October 14, 2026 Iniciar leitura

O hexagrama místico: seis pontos numa cônica

Em fevereiro de 1640, circulou em Paris uma folha impressa de um lado só, como um cartaz, com o título Ensaio sobre as cônicas. Não trazia demonstrações, só definições, três lemas e uma lista de resultados. O autor tinha 16 anos e se chamava Blaise Pascal. Quando o padre Mersenne mostrou a folha a Descartes, a reação foi de desconfiança: Descartes achou que o rapaz tinha tirado tudo de Girard Desargues, o arquiteto e geômetra que Pascal admirava. A influência de Desargues era real, e o próprio Pascal a reconhecia. Mas o resultado central da folha era novo.

October 11, 2026 Iniciar leitura