História Da Matemática

O teorema de Sophie Germain e o último teorema de Fermat

Por volta de 1637, Pierre de Fermat anotou na margem de um livro que a equação $$x^n+y^n=z^n$$não tem soluções em números inteiros positivos quando $n$ é maior que 2, e que tinha uma demonstração maravilhosa que não cabia na margem. É o último teorema de Fermat. Ninguém nunca encontrou a demonstração dele, e o problema só foi resolvido por Andrew Wiles em 1994. Até 1800, a situação era modesta. Fermat tinha provado o caso $n=4$, Euler o caso $n=3$. Bastava estudar os expoentes $n=p$ primos, mas cada primo exigia um truque próprio, e ninguém conseguia passar do 3. Sophie Germain foi a primeira pessoa a provar algo para infinitos expoentes de uma só vez.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Os anéis de Saturno não podem ser sólidos

Os únicos sistemas de anéis que podem existir são, portanto, os compostos por um número indefinido de partículas desconectadas, girando em torno do planeta com velocidades diferentes, de acordo com as suas distâncias. — James Clerk Maxwell, Sobre a estabilidade do movimento dos anéis de Saturno (1859) Galileu viu Saturno pelo telescópio em 1610 e achou que o planeta tinha “orelhas”. Em 1655, Huygens percebeu que eram um anel fino e plano, que não toca o planeta. Duzentos anos depois, ninguém sabia do que o anel era feito. Seria um disco sólido, como um disco de vinil? Um líquido? Uma nuvem de pedras?

October 14, 2026 Iniciar leitura

Combinações: contar sem listar

Na Mega-Sena, você escolhe 6 números entre 60. Quantos jogos diferentes existem? Listar todos levaria uma vida: são mais de cinquenta milhões. Mas dá para contar sem listar, e Pascal mostrou como. Escolher sem ordem Comece com um caso pequeno: de quantas maneiras se pode escolher 2 pessoas num grupo de 5 para uma comissão? Se a ordem importasse, haveria $5$ opções para a primeira pessoa e $4$ para a segunda: $5\cdot4=20$. Mas numa comissão “Ana e Bruno” é o mesmo que “Bruno e Ana”, e cada par foi contado duas vezes. São $20/2=10$ comissões.

October 11, 2026 Iniciar leitura

Máximos e mínimos: o retângulo de maior área

Você tem 24 metros de cerca e quer cercar um terreno retangular com a maior área possível. Que medidas escolher? Um retângulo comprido e fino desperdiça cerca; um quadrado parece melhor. Mas como provar? Fermat inventou um método para responder perguntas assim por volta de 1636, mais de trinta anos antes de Newton e quase cinquenta antes de Leibniz publicar o cálculo. O problema de Fermat O primeiro exemplo de Fermat era exatamente esse: dividir um segmento de comprimento $b$ em duas partes, $x$ e $b-x$, de modo que o produto $x(b-x)$ seja o maior possível. É o nosso terreno: com 24 m de cerca, a soma de dois lados vizinhos é $12$, e a área é

October 11, 2026 Iniciar leitura

A regra do produto: duas mudanças na mesma conta

Se você sabe como $u$ muda e como $v$ muda, como muda o produto $uv$? O palpite natural é multiplicar as mudanças: $d(uv)=du\cdot dv$. Parece tão simétrico, tão elegante… Leibniz teve o mesmo palpite. Leibniz testa e erra No mesmo manuscrito de 11 de novembro de 1675 em que começou a usar a letra $d$, Leibniz se perguntou se $d(xy)$ seria igual a $dx\,dy$, e se $d\!\left(\frac xy\right)$ seria igual a $\dfrac{dx}{dy}$. Em vez de confiar na elegância, testou com um exemplo e descobriu que não. Dias depois, encontrou a regra certa.

October 11, 2026 Iniciar leitura

Fluxões: como medir uma mudança instantânea

Um carro sai de São Paulo e chega a Campinas, a 90 km, em uma hora. A velocidade média foi 90 km/h. Mas o velocímetro, a cada instante, mostrava outro número. O que exatamente ele mede? Velocidade é distância dividida por tempo, mas num instante não se percorre distância nenhuma e não passa tempo nenhum. Dividir zero por zero não dá resposta. Essa era a pergunta que Newton queria responder em 1665. A resposta dele foi o método das fluxões.

October 11, 2026 Iniciar leitura

O polígono de 17 lados

Desde os gregos se sabia construir com régua e compasso os polígonos regulares de 3, 4, 5 e 15 lados, e todos os que saem deles dobrando o número de lados (6, 8, 10, 12…). Por 2000 anos, ninguém achou outro. Gauss mostrou que construir o polígono de $n$ lados é o mesmo que calcular $\cos\frac{2\pi}{n}$ usando só números inteiros, as quatro operações e raízes quadradas. E régua e compasso sabem tirar raiz quadrada: é exatamente a construção que vimos no capítulo de Descartes. Para 17 lados, ele chegou a

October 10, 2026 Iniciar leitura

Raiz quadrada com régua e compasso

A Geometria começa mostrando que as operações da aritmética podem ser feitas com segmentos. A mais bonita é a raiz quadrada. Para achar $\sqrt{a}$: Desenhe numa reta um segmento $AB$ de comprimento 1 e, em seguida, um segmento $BC$ de comprimento $a$. Trace uma semicircunferência com diâmetro $AC$. Levante por $B$ uma perpendicular até encontrar a semicircunferência no ponto $D$. Então $BD = \sqrt{a}$. Mude o valor de a: a altura BD é sempre √a. Para a = 4, 9 ou 2,25 a raiz é exata. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 10, 2026 Iniciar leitura

O problema de Basileia

Em 1650, Pietro Mengoli perguntou quanto vale a soma dos inversos dos quadrados: $$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \ ?$$ Os Bernoulli tentaram e não conseguiram. A soma cresce devagar: com 10 termos dá $1{,}5498$, com 100 termos dá $1{,}6350$, com 1000 termos dá $1{,}6439$. Ninguém reconhecia o número para onde ela caminhava. Veja na figura: cada barra é a soma até $N$ termos.

October 10, 2026 Iniciar leitura

Números computáveis: quase todo número é impossível de calcular

O título do artigo de 1936 não fala de máquinas. Fala de números: “Sobre os números computáveis”. Turing os definiu assim: um número real é computável quando existe uma máquina que escreve, um depois do outro, todos os seus algarismos, sem nunca errar nenhum. Quem é computável Quase todos os números que aparecem na escola são computáveis. Frações: $\frac17=0{,}142857142857\ldots$ A máquina faz a divisão longa e repete o ciclo para sempre. Raízes: $\sqrt2=1{,}41421356\ldots$ Para achar o próximo algarismo, a máquina testa de 0 a 9 qual é o maior que, acrescentado, ainda dá um número cujo quadrado não passa de 2. $\pi$ e $e$: há séries que os aproximam tanto quanto se queira, como $e=1+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots$, e com elas uma máquina produz qualquer algarismo, mais cedo ou mais tarde. Parece que todo número “de verdade” é computável. E aqui vem a surpresa: quase nenhum é.

October 16, 2026 Iniciar leitura

Briggs e os logaritmos de base 10

Estes números foram inventados primeiro pelo ilustríssimo John Napier, barão de Merchiston; foram depois alterados, segundo a opinião do próprio, por Henry Briggs. — Página de rosto da Arithmetica logarithmica de Henry Briggs (1624) Henry Briggs era professor de geometria no Gresham College, em Londres, e um dos maiores calculadores da Inglaterra. Em março de 1615 escreveu a um amigo que Napier o tinha deixado ocupado “com a cabeça e com as mãos” com os seus novos logaritmos, e que esperava conhecê-lo naquele verão. Conheceu. Na conversa em Merchiston, os dois concordaram que as tábuas ficariam muito mais práticas com duas mudanças: o logaritmo de 1 seria 0, e o de 10 seria 1.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Inverter a integral: as funções elípticas

Comece por uma função conhecida, vista de um jeito estranho. A integral $$\arcsin x=\int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$$dá o comprimento de um arco de círculo de raio 1, medido a partir do ponto mais baixo, em função da altura $x$. É uma função complicada. Mas a sua inversa, que dá a altura em função do arco, é o seno, a função mais simples da trigonometria. E o seno tem uma propriedade que a integral esconde: é periódico. Como um quarto de volta mede

October 15, 2026 Iniciar leitura