História Da Matemática

Coordenadas: a geometria vira álgebra

A grande ideia de A Geometria é dar a cada ponto do plano um par de números. Escolhemos duas retas perpendiculares (os eixos) e um ponto é localizado pelas distâncias $x$ e $y$ até elas. Hoje chamamos isso de plano cartesiano, em homenagem a ele (Cartesius era o nome de Descartes em latim). Com coordenadas, uma figura vira uma equação. Veja três exemplos. Uma página de A Geometria (1637). Já aparecem as letras a, b para valores conhecidos e as potências escritas no alto.René Descartes · domínio público A distância entre dois pontos. Os pontos $P = (x_1, y_1)$ e $Q = (x_2, y_2)$ formam, com o ponto $(x_2, y_1)$, um triângulo retângulo de catetos $x_2 - x_1$ e $y_2 - y_1$. Pelo teorema de Pitágoras:

October 10, 2026 Iniciar leitura

A linguagem que Euler nos deixou

Parte da influência de Euler está em coisas que parecem ter existido sempre. Ele criou ou popularizou: $f(x)$ para indicar uma função de $x$; a letra $e$ para a base dos logaritmos naturais, $e \approx 2{,}71828$; a letra $\pi$ para a razão entre o comprimento da circunferência e o diâmetro (o símbolo já existia, mas foi Euler quem o espalhou); $i$ para a unidade imaginária, com $i^2 = -1$; $\Sigma$ para indicar uma soma. O sinal de igual e a letra π Os símbolos têm data de nascimento. O sinal $=$ foi inventado pelo galês Robert Recorde em 1557, no livro The Whetstone of Witte, para não ter de escrever “é igual a” o tempo todo. Ele escolheu dois traços paralelos do mesmo comprimento porque, explicou, nenhuma coisa pode ser mais igual. A letra $\pi$, inicial da palavra grega periphéreia, a circunferência, foi usada pela primeira vez com o sentido de hoje por outro galês, William Jones, em 1706. Euler passou a usá-la nos anos 1730, e os seus livros a tornaram padrão.

October 10, 2026 Iniciar leitura

O problema da parada: a pergunta que nenhuma máquina responde

Em 1928, o alemão David Hilbert propôs um desafio que chamou de Entscheidungsproblem, o “problema da decisão”: encontrar um procedimento mecânico que, recebendo qualquer afirmação matemática escrita na linguagem da lógica, respondesse em tempo finito se ela é verdadeira ou falsa. Se existisse, a matemática viraria uma linha de montagem: bastaria escrever a pergunta e girar a manivela. Hilbert acreditava que a resposta era sim. Oito anos depois, Turing e o americano Alonzo Church mostraram, cada um por um caminho, que é não.

October 16, 2026 Iniciar leitura

A série binomial e as séries do diabo

As séries divergentes são uma invenção do diabo, e é uma vergonha basear nelas qualquer demonstração. — Niels Henrik Abel, carta a Holmboe (janeiro de 1826) Em 1665, o jovem Newton descobriu que a fórmula do binômio valia também para expoentes que não são inteiros: $$(1+x)^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2}x^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{6}x^3+\cdots$$Para $m$ inteiro positivo, a soma para depois de $m+1$ termos. Para $m=\frac12$ ou $m=-1$, ela nunca para: é uma série, uma soma com infinitos termos. Newton, Euler e todos os matemáticos do século XVIII usaram essa série com enorme sucesso. Quase ninguém perguntou quando ela funciona.

October 15, 2026 Iniciar leitura

O que é um grupo: as seis simetrias do triângulo

Recorte um triângulo equilátero de papel, numere os cantos 1, 2 e 3 e coloque-o sobre o seu contorno desenhado na mesa. De quantas maneiras dá para tirar o triângulo e recolocá-lo de modo que ele cubra exatamente o mesmo contorno? São seis. Pode-se não fazer nada; girar $120°$ ou $240°$; ou virar o triângulo do avesso em torno de um dos três eixos, cada um passando por um canto e pelo meio do lado oposto.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Os dois pontos de Napier: a definição do logaritmo

Napier não tinha a notação de expoentes que usamos hoje. Para definir os logaritmos, usou uma imagem de movimento, muito antes de Newton e Leibniz criarem o cálculo. A definição Imagine dois pontos que partem juntos. O primeiro, $P$, anda por um segmento $AB$ de comprimento $10^7$, e a sua velocidade em cada instante é igual à distância que ainda falta até $B$: começa rápido e vai freando, sem nunca chegar. O segundo, $Q$, anda por uma reta sem fim, sempre com a velocidade inicial de $P$.

October 15, 2026 Iniciar leitura

A Mecânica analítica: um livro sem figuras

Abra os Principia de Newton, de 1687, e você verá figuras em quase toda página: triângulos, elipses, setas, tangentes. Abra a Mecânica analítica de Lagrange, publicada cem anos depois, em 1788, e não verá nenhuma. O próprio autor avisa isso no prefácio, com orgulho, e completa: Os que amam a análise verão com prazer a mecânica tornar-se um novo ramo dela, e me serão gratos por ter assim estendido o seu domínio. — Joseph-Louis Lagrange, prefácio da Mecânica analítica (1788)

October 14, 2026 Iniciar leitura

A primeira proposição: o triângulo equilátero

Sobre uma reta limitada dada, construir um triângulo equilátero. — Euclides, Elementos, Proposição I.1 Depois das definições, dos postulados e das noções comuns, os Elementos começam com um problema pequeno e bonito. Você tem um segmento $AB$. Quer construir, só com régua e compasso, um triângulo cujos três lados sejam iguais a $AB$. É a primeira das 465 proposições do livro, e mostra em poucas linhas como todas as outras vão funcionar.

October 14, 2026 Iniciar leitura

A regra de l'Hôpital: as aulas vendidas a um marquês

Reconheço dever muito às luzes dos senhores Bernoulli, sobretudo às do mais jovem, hoje professor em Groningen. Servi-me sem cerimônia das suas descobertas e das do senhor Leibniz. — Marquês de l'Hôpital, prefácio da Análise dos infinitamente pequenos (1696) Em 1691, o marquês Guillaume de l’Hôpital tinha 30 anos, um título, um castelo, e uma paixão: entender o cálculo de Leibniz, que mal tinha sido publicado e que quase ninguém na França conseguia ler. Quando o jovem suíço Johann Bernoulli, que sabia o cálculo melhor do que quase todo mundo, apareceu em Paris, o marquês o contratou como professor particular.

October 14, 2026 Iniciar leitura

A série harmônica e o pedido de ajuda

Assim como a série infinita é contida pela soma finita, e no ilimitado se discerne o limite, também a alma da imensidão mora no ínfimo, e no limite mais estreito não há limites. — Jakob Bernoulli, Tractatus de seriebus infinitis (1689) Entre 1689 e 1704, Jakob Bernoulli publicou em Basileia cinco dissertações sobre séries infinitas, somas com infinitas parcelas. Era um assunto novo e perigoso. Algumas dessas somas dão um número, como

October 14, 2026 Iniciar leitura

O equilíbrio de Nash: ninguém melhora sozinho

Um ponto de equilíbrio é uma n-upla tal que a estratégia mista de cada jogador maximiza o seu ganho se as estratégias dos outros forem mantidas fixas. — John Nash, Proceedings of the National Academy of Sciences (1950) Em 1944, John von Neumann e o economista Oskar Morgenstern publicaram Teoria dos Jogos e Comportamento Econômico, um livro enorme que transformava em matemática as decisões estratégicas: jogos de cartas, guerras, mercados. O grande resultado de von Neumann valia para jogos de soma zero entre dois jogadores, em que o que um ganha o outro perde, como o xadrez ou o pôquer. Mas a maior parte da vida não é assim: num acordo comercial, numa negociação ou no trânsito, os dois lados podem ganhar juntos, ou perder juntos.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O movimento browniano: contar os átomos

Se for realmente possível observar o movimento aqui discutido, a termodinâmica clássica não poderá mais ser considerada exatamente válida para espaços distinguíveis ao microscópio, e uma determinação exata das verdadeiras dimensões atômicas se torna possível. — Albert Einstein, Annalen der Physik (maio de 1905) Em 1905, muitos físicos e químicos ainda duvidavam que os átomos existissem. A química funcionava muito bem com a hipótese, mas ninguém tinha visto um átomo, e cientistas importantes, como o físico austríaco Ernst Mach e o químico alemão Wilhelm Ostwald, achavam que eles eram só uma maneira cômoda de fazer contas. Einstein encontrou um jeito de vê-los, ou quase: pelo efeito que eles têm sobre coisas grandes o bastante para aparecer no microscópio.

October 14, 2026 Iniciar leitura