História Da Matemática

As cartas de Monsieur Le Blanc: aritmética dos restos

Quando Sophie Germain escreveu a Gauss em 1804, os dois falavam uma língua que tinha acabado de nascer. Três anos antes, nas Investigações aritméticas, Gauss tinha introduzido um sinal novo, $\equiv$, e uma maneira nova de pensar os números inteiros: não pelo que eles são, mas pelo resto que deixam numa divisão. Tudo o que Sophie fez depois sobre Fermat foi escrito nessa língua. Vale a pena aprendê-la. A aritmética do relógio Se agora são 9 horas, que horas serão daqui a 5 horas? Ninguém responde 14 num relógio de ponteiros: responde 2. O relógio só guarda o resto da divisão por 12. Gauss escreveu isso assim:

October 14, 2026 Iniciar leitura

As cores: o pião e a fita de tartã

A ciência das cores deve, portanto, ser considerada essencialmente uma ciência mental. — James Clerk Maxwell, “Experiments on colour” (1855) Desde Newton se sabia que a luz branca é uma mistura de todas as cores do arco-íris. Mas a cor que vemos é outra coisa: depende do olho e do cérebro. O médico inglês Thomas Young tinha proposto, em 1802, que o olho tem só três tipos de sensores, e que todas as cores que percebemos são combinações das respostas desses três. Era uma hipótese ousada e sem prova. Maxwell, aos 24 anos, transformou-a em matemática.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O cálculo das variações: a carta de um jovem de 19 anos

O cálculo de Newton e Leibniz sabe achar o ponto mais alto de uma curva: é onde a derivada se anula. Mas há perguntas de outro tipo. Qual é o caminho mais curto entre dois pontos? Qual é a forma de um escorregador em que uma bolinha desce mais depressa? Qual é a curva de um fio pendurado? Nessas perguntas, a resposta não é um número, é uma curva inteira, escolhida entre infinitas curvas possíveis.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O efeito fotoelétrico: a luz vem em pacotes

Trata da radiação e das propriedades energéticas da luz, e é muito revolucionário. — Albert Einstein, carta a Conrad Habicht (maio de 1905) Em maio de 1905, Einstein escreveu ao amigo Conrad Habicht anunciando quatro trabalhos. Dos quatro, só um ele chamou de revolucionário, e não era a relatividade: era o artigo sobre a luz, enviado aos Annalen der Physik em março. Foi por ele que Einstein ganhou o Nobel.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O jogo de Hex: por que o primeiro jogador ganha

Em 1948, na sala comum do prédio de matemática de Princeton, onde professores e alunos jogavam xadrez e Go durante a tarde, John Nash apresentou um jogo novo. O tabuleiro é um losango coberto de casas hexagonais, como um favo de mel. Dois jogadores, vermelho e azul, colocam peças alternadamente, uma por vez, em casas vazias. As peças nunca se movem. O vermelho quer formar uma corrente de peças vermelhas ligando a borda de cima à de baixo; o azul, uma corrente azul ligando a esquerda à direita.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Os Elementos: definições, postulados e noções comuns

Ponto é aquilo que não tem partes. Linha é comprimento sem largura. — Euclides, Elementos, Livro I, Definições 1 e 2 Imagine que você quer convencer alguém, sem nenhuma possibilidade de dúvida, de que a soma dos ângulos de um triângulo é sempre 180°. Medir não basta: o transferidor erra, e você só pode medir alguns triângulos. Você precisa de um argumento. Mas todo argumento parte de alguma coisa. De onde partir? Se cada afirmação precisa ser justificada por outra, e essa por outra, a cadeia nunca termina.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Os juros que nunca acabam e o número e

Imagine um banco generoso que paga 100% de juros ao ano. Você deposita 1 real em janeiro e, em dezembro, tem 2 reais. Agora o banco oferece outra coisa: em vez de 100% no fim do ano, paga 50% a cada seis meses, e os juros do primeiro semestre também rendem no segundo. Vale a pena? E se pagar a cada mês, a cada dia, a cada segundo? Dá para ficar infinitamente rico?

October 14, 2026 Iniciar leitura

O triângulo de Pascal: somar para construir

Escreva um $1$. Embaixo, dois $1$. A partir daí, cada linha começa e termina com $1$, e cada número do meio é a soma dos dois que estão logo acima: $$\begin{array}{ccccccccccc} &&&&&1&&&&&\\ &&&&1&&1&&&&\\ &&&1&&2&&1&&&\\ &&1&&3&&3&&1&&\\ &1&&4&&6&&4&&1&\\ 1&&5&&10&&10&&5&&1 \end{array}$$É só isso. Uma regra que uma criança aprende em um minuto produz uma das tabelas mais ricas da matemática. Hoje ela se chama triângulo de Pascal, mas Pascal foi um dos últimos a encontrá-la.

October 11, 2026 Iniciar leitura

Fermat e a geometria analítica: uma curva em uma equação

Por quase dois mil anos, a geometria e a álgebra viveram separadas. A geometria dos gregos trabalhava com régua, compasso e figuras. A álgebra, que chegou à Europa pelos árabes, trabalhava com equações. No começo do século XVII, duas pessoas tiveram, ao mesmo tempo e sem combinar, a ideia de juntá-las: René Descartes e Pierre de Fermat. Uma frase que criou um campo Por volta de 1636, Fermat escreveu um pequeno texto em latim, Introdução aos lugares planos e sólidos. “Lugar” era o nome que os gregos davam a um conjunto de pontos que satisfazem uma condição, como o círculo, que é o lugar dos pontos a uma distância fixa do centro. Logo no começo, Fermat escreveu:

October 11, 2026 Iniciar leitura

A notação de Leibniz: uma linguagem para as mudanças

Nos símbolos, observa-se uma vantagem para a descoberta que é maior quando eles exprimem a natureza exata de uma coisa de forma breve e, por assim dizer, a retratam. Então, de fato, o trabalho do pensamento é maravilhosamente reduzido. — Leibniz, carta a Tschirnhaus (1678) Newton chegou primeiro ao cálculo, mas quem decidiu como ele seria escrito foi Leibniz. E a escrita fez toda a diferença. A letra d Em 11 de novembro de 1675, num manuscrito em Paris, Leibniz passou a usar a letra $d$ para indicar uma diferença infinitamente pequena. O $d$ vem do latim differentia, palavra ligada ao verbo differre, “separar, levar para lados diferentes”. Assim:

October 11, 2026 Iniciar leitura

O binômio generalizado: além das potências inteiras

Na escola aprendemos a expandir $(1+x)^2=1+2x+x^2$ e $(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3$. Os coeficientes saem do triângulo aritmético, que Pascal estudou e que já era conhecido muito antes dele. Para expoentes inteiros positivos, a conta sempre termina. No inverno de 1664–1665, ainda estudante, Newton fez uma pergunta que ninguém tinha feito com tanta ousadia: e se o expoente fosse $\frac12$? Ou $-1$? O que seria $(1+x)^{1/2}$, isto é, $\sqrt{1+x}$, escrito como soma de potências de $x$?

October 11, 2026 Iniciar leitura

A soma de 1 a 100

A história mais famosa de Gauss é de quando ele tinha uns 9 anos. Para manter a turma ocupada, o professor Büttner mandou os alunos somarem todos os números de 1 a 100. Em poucos segundos, Gauss colocou a lousa na mesa com a resposta certa: 5050. (A história foi contada pelo primeiro biógrafo de Gauss, e os números exatos da conta podem ter sido outros, mas a ideia é a mesma.)

October 10, 2026 Iniciar leitura