Álgebra

O legado de Lagrange

Lagrange é a alta pirâmide das ciências matemáticas. — Napoleão Bonaparte, segundo os contemporâneos Lagrange não deixou anedotas de gênio precoce como Pascal, nem uma obra do tamanho da de Euler. Deixou outra coisa: um jeito de fazer matemática. Onde os outros desenhavam, ele calculava; onde os outros achavam um truque para cada problema, ele procurava a regra que explicava todos os truques. Quase tudo o que fez continua nos livros com o seu nome: a equação de Euler-Lagrange, a lagrangiana, os pontos de Lagrange, o teorema de Lagrange, o resto de Lagrange, os multiplicadores de Lagrange.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens de Lagrange

Imagens históricas Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Joseph-Louis Lagrange, gravura de autor desconhecido: página de origem · domínio público. Medalhão com o perfil de Lagrange, bronze de Pierre-Jean David d’Angers, Musées d’Angers: página de origem · CC0. Folha de rosto da Méchanique analitique, Paris, 1788: página de origem · domínio público. Estátua de Lagrange em Turim, foto de Twice25, 2009: página de origem · CC BY-SA 3.0. Figuras do blog A capa, o diagrama dos cinco pontos de Lagrange e o gráfico das curvas de mesma área com a reta da restrição são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. O diagrama dos pontos está fora de escala: L1 e L2 ficam, na verdade, cem vezes mais perto da Terra do que o Sol.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Referências e créditos

Para aprofundar Usiskin, Zalman. Conceptions of school algebra and uses of variables. Em: Coxford, A. F.; Shulte, A. P. (orgs.). The Ideas of Algebra, K–12. Reston: NCTM, 1988, p. 8–19. Tradução brasileira em: As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995. Küchemann, Dietmar. Algebra. Em: Hart, K. M. (org.). Children’s Understanding of Mathematics: 11–16. Londres: John Murray, 1981, p. 102–119. Clement, John; Lochhead, Jack; Monk, George S. Translation difficulties in learning mathematics. The American Mathematical Monthly, 88(4), 1981, p. 286–290. MacGregor, Mollie; Stacey, Kaye. Students’ understanding of algebraic notation: 11–15. Educational Studies in Mathematics, 33, 1997, p. 1–19. Philipp, Randolph A. The many uses of algebraic variables. The Mathematics Teacher, 85(7), 1992, p. 557–561. Kieran, Carolyn. The learning and teaching of school algebra. Em: Grouws, D. A. (org.). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Nova York: Macmillan, 1992, p. 390–419. Kleiner, Israel. Evolution of the function concept: a brief survey. The College Mathematics Journal, 20(4), 1989, p. 282–300. Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 vols. Chicago: Open Court, 1928–1929. Sobre os sinais cóssicos, as letras de Viète e Descartes, o $f(x)$ e o $\operatorname{sen}^{-1}$ de Herschel. Heath, Thomas L. Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra. Cambridge: Cambridge University Press, 1910. Viète, François. In artem analyticem isagoge. Tours: Jamet Mettayer, 1591. l’Hôpital, Guillaume de. Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignes courbes. Paris: Imprimerie Royale, 1696. Os textos antigos deste site sobre funções forneceram a ideia da função como frase com um buraco, usada no capítulo 1 e retomada aqui.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Como ler uma letra: roteiro e glossário

Este capítulo mostrou que uma letra pode fazer pelo menos cinco trabalhos diferentes e que a escrita quase nunca diz qual. O roteiro abaixo junta as perguntas que ajudam a descobrir. Cinco perguntas para uma letra Ela esconde um valor ou representa qualquer valor? Se esconde, é uma incógnita, e a tarefa é descobri-la. Se representa qualquer um, a frase é uma lei geral ou uma identidade. Ela se move durante o problema? Se sim, é uma variável, e vale perguntar de quem ela depende e quem depende dela. Ela fica parada enquanto as outras se movem? Então é um parâmetro ou uma constante. Vale perguntar: fixa para sempre, como $\pi$, ou só neste problema, como o $a$ de $ax^2$? Ela está presa a um operador? Se aparece num $\Sigma$, num $\int$, num $\forall$ ou num $\mapsto$, é uma letra ligada, e pode ser trocada por outra sem mudar nada. Que palavra do texto anuncia o papel? “Ache”, “para todo”, “seja”, “quando”, “dado”. Se nenhuma aparece, a convenção do assunto decide, e é bom torná-la explícita. A leitura completa de y = ax² + bx + c $y$ e $x$: variáveis. $x$ é a independente, $y$ a dependente. Juntas, percorrem os pontos de uma parábola. $a$, $b$ e $c$: parâmetros. Fixos durante o problema, escolhem qual parábola. O $a$ precisa ser diferente de zero, ou a curva vira reta. Mudando a pergunta, mudam os papéis. Em “onde a parábola corta o eixo $x$?”, fazemos $y=0$, e o $x$ passa a ser incógnita. Em “que parábola passa por $(1,2)$, $(2,3)$ e $(3,6)$?”, os parâmetros passam a ser as incógnitas, e $x$ e $y$ viram dados: $a+b+c=2$, $4a+2b+c=3$, $9a+3b+c=6$, que dão $a=1$, $b=-2$, $c=3$. Nenhuma letra é muda. Todas importam: trocar $a$ por $k$ exige trocar em todo o texto. Uma linha curta, três papéis diferentes, e cada pergunta reorganiza tudo.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Quando a letra engana: alunos, professores e maçãs

Em 1981, três pesquisadores da Universidade de Massachusetts, John Clement, Jack Lochhead e George Monk, propuseram a calouros de engenharia um problema simples: Escreva uma equação usando as variáveis $E$ e $P$ para a frase: “Nesta universidade, há seis vezes mais estudantes que professores.” Use $E$ para o número de estudantes e $P$ para o número de professores. Cerca de 37% erraram. E quase todos os que erraram escreveram a mesma coisa:

October 15, 2026 Iniciar leitura

Letras mudas: o k da soma e o t da integral

Estas duas expressões valem o mesmo: $$\sum_{k=1}^{4}k^2=1+4+9+16=30,\qquad\sum_{j=1}^{4}j^2=1+4+9+16=30.$$Trocar $k$ por $j$ não mudou nada. A letra está ali só para marcar por onde a conta passa; terminada a soma, ela desaparece. Letras assim se chamam mudas, ou ligadas. Elas são o contrário das incógnitas: uma incógnita guarda um valor que importa; uma letra muda não guarda valor nenhum depois que a operação acaba. Livres e ligadas Agora compare: $$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.$$Aqui há duas letras de natureza diferente. O $k$ é ligado pela soma: só existe entre o $\Sigma$ e o fim da expressão, e poderia ser trocado por qualquer outra letra. O $n$ é livre: o resultado depende dele. Trocar $n$ por $m$ dá outra afirmação, sobre outro número.

October 15, 2026 Iniciar leitura

f, f(x) e x ↦ x²: três maneiras de nomear uma função

O capítulo 1 contou como Euler, em 1734, inventou o $f(x)$ e como a função virou uma frase com um buraco (Euler e as funções). Esse texto olha para os modos de nomear uma função, e para as confusões que cada um traz. A função e o seu valor Compare duas frases: “a função $f$ é crescente”; “$f(x)$ é positivo para $x>0$”. Na primeira, $f$ é a função inteira, a regra, o objeto que se pode derivar, compor, desenhar. Na segunda, $f(x)$ é um número: o valor que a função dá quando a entrada é $x$. A diferença é a mesma que entre “a calculadora” e “o número que aparece no visor”.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Parâmetros: letras que ficam paradas enquanto outras se movem

Na equação $$y=ax^2+bx+c$$há cinco letras, e elas não estão no mesmo nível. O $x$ e o $y$ variam: percorrem os pontos de uma parábola. O $a$, o $b$ e o $c$ ficam parados enquanto isso acontece, mas podem ser escolhidos à vontade antes. Cada escolha dá uma parábola diferente. Letras assim se chamam parâmetros, do grego pará, ao lado, e métron, medida: o que fica ao lado da medida, regulando-a.

October 15, 2026 Iniciar leitura

A variável: a letra que se move

Chamam-se quantidades variáveis aquelas que aumentam ou diminuem continuamente; e, ao contrário, quantidades constantes aquelas que permanecem as mesmas enquanto as outras mudam. — Marquês de l'Hôpital, Análise dos infinitamente pequenos (1696), definição I A incógnita é uma letra parada: ela esconde um valor, e o valor não muda. A variável é uma letra que se move. Em $y=x^2-4x+3$, ninguém pergunta “quanto vale $x$?”. Pergunta-se outra coisa: “quando $x$ muda, o que acontece com $y$?”.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Letras que generalizam: de 3 + 5 = 5 + 3 a a + b = b + a

Some $3+5$ e $5+3$: dá $8$ nos dois casos. Tente $12+7$ e $7+12$, $100+1$ e $1+100$. Sempre dá certo. Mas quantos exemplos são necessários para ter certeza? Mil? Um milhão? Nenhum número de exemplos basta, porque os pares de números são infinitos. A frase $$a+b=b+a$$resolve o problema de outra maneira. Ela não fala de nenhum par em particular: fala de todos de uma vez. As letras $a$ e $b$ aqui não escondem um valor, como a incógnita; elas representam qualquer valor. É o que Usiskin chamou de aritmética generalizada.

October 15, 2026 Iniciar leitura

A incógnita: um lugar para o que se procura

Uma incógnita é, ao pé da letra, uma coisa in-cognita, não conhecida. Mas não é uma coisa qualquer: é um número determinado que ainda não sabemos qual é. A equação $x+3=7$ não fala de todos os números; fala de um só, e a tarefa é descobrir qual. Nomes para o que não se sabe Por muito tempo, a incógnita teve nome de palavra, não de letra. Por volta do ano 250, Diofanto de Alexandria, na Aritmética, chamava a incógnita de arithmós, “o número”, e a abreviava com um sinal parecido com o sigma final, $\varsigma$. Tinha também abreviações para o quadrado da incógnita, $\Delta^{\Upsilon}$ (dýnamis, potência), e para o cubo, $K^{\Upsilon}$ (kýbos). Em Bagdá, por volta de 820, al-Khwarizmi a chamava de shay’, coisa, e o quadrado dela de māl, riqueza. Ele escrevia tudo por extenso, sem nenhum símbolo. Nos séculos XV e XVI, os italianos traduziram shay’ por cosa, e os algebristas alemães que copiaram os italianos ganharam o apelido de cossistas. Em 1544, Michael Stifel ainda usava sinais diferentes para a coisa, o seu quadrado e o seu cubo: Os sinais “cóssicos” da Aritmética completa de Michael Stifel (1544): cada potência da incógnita tinha o seu próprio símbolo, sem relação visível entre eles.Michael Stifel · Wikimedia Commons · domínio público Nesses sinais, o quadrado e o cubo da coisa não se parecem com a coisa. É uma notação estéril, no sentido deste livro: para saber que o cubo vezes o quadrado dá a quinta potência, era preciso decorar uma tabela. Quando Descartes escreveu $x$, $x^2$, $x^3$, a regra $x^3\cdot x^2=x^5$ passou a estar visível nos expoentes. O capítulo 1 conta essa passagem com mais detalhe, no texto da retórica ao símbolo.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Uma letra, cinco papéis

Olhe para estas cinco linhas: $$x+3=7,\qquad A=b\cdot h,\qquad a+b=b+a,\qquad y=kx,\qquad \operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1.$$Todas usam letras, e todas parecem álgebra. Mas as letras não fazem a mesma coisa em nenhuma delas. Em $x+3=7$, o $x$ é um número fixo e desconhecido. Só o $4$ serve. É uma incógnita. Em $A=b\cdot h$, as letras não escondem nada: dizem como três grandezas se relacionam. É uma fórmula, e as letras são grandezas que variam juntas. Em $a+b=b+a$, as letras são números quaisquer. A frase vale para todos os pares. A letra generaliza. Em $y=kx$, o $x$ e o $y$ se movem, e o $k$ fica parado. O $k$ é um parâmetro: fixo em cada problema, mas qualquer. Em $\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1$, o $x$ também é qualquer, mas a frase não é uma equação a resolver: é uma identidade, verdadeira para todo $x$. As concepções de Usiskin Em 1988, o educador norte-americano Zalman Usiskin, num artigo que se tornou clássico, propôs que a álgebra escolar mistura pelo menos quatro concepções, e que cada uma dá à letra um papel diferente:

October 15, 2026 Iniciar leitura