Álgebra

Dividir a lemniscata com régua e compasso

Em 1694, Jakob Bernoulli estudou uma curva em forma de oito deitado, que chamou de lemniscus, uma fita de laço. Com os focos nos pontos $(\pm\frac1{\sqrt2},0)$, ela é o conjunto dos pontos cujo produto das distâncias aos dois focos vale $\frac12$. A equação é $$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2,$$ou, em coordenadas polares, $r^2=\cos2\theta$. Abel, um século e meio depois, provou sobre ela um teorema que parece saído do livro de Euclides: para que números $n$ dá para dividir a lemniscata em $n$ arcos de mesmo comprimento usando só régua e compasso?

October 15, 2026 Iniciar leitura

Os imaginários de Galois: os corpos finitos

Em junho de 1830, aos 18 anos, Galois publicou um artigo curto, Sobre a teoria dos números, num boletim científico de Paris. Nele inventou números novos, que chamou de imaginários, para um mundo em que só existem finitos números. Por mais de um século, o artigo pareceu uma curiosidade. Hoje, ele está dentro de todo celular. Contar com restos Na aritmética do relógio, contamos só com os restos da divisão por um número fixo. Com o número 5, só existem $0, 1, 2, 3, 4$, e as contas “dão a volta”:

October 15, 2026 Iniciar leitura

Quatro quadrados bastam

Pegue um número inteiro positivo qualquer e tente escrevê-lo como soma de quadrados perfeitos, $0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots$, usando o menor número possível de parcelas: $$\begin{aligned} 5&=4+1,\\ 6&=4+1+1,\\ 7&=4+1+1+1,\\ 30&=25+4+1,\\ 2026&=2025+1=45^2+1^2. \end{aligned}$$Alguns números são quadrados, outros precisam de dois, outros de três. O 7 precisa de quatro: não há outro jeito. Será que algum número precisa de cinco? Em 1770, Lagrange provou que não: Todo número inteiro positivo é soma de quatro quadrados de inteiros.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Duplicar o cubo e trissectar o ângulo: as construções impossíveis

Os gregos deixaram três problemas de construção que ninguém conseguiu resolver com régua e compasso, as ferramentas dos Elementos de Euclides: Duplicar o cubo: construir a aresta de um cubo com o dobro do volume de um cubo dado. Trissectar o ângulo: dividir um ângulo qualquer em três partes iguais. Quadrar o círculo: construir um quadrado com a mesma área de um círculo dado. Conta a lenda que, durante uma peste, o oráculo de Delos mandou os atenienses dobrarem o altar de Apolo, que tinha a forma de um cubo. Eles dobraram a aresta, o volume ficou oito vezes maior, e a peste continuou. Por dois mil anos, os matemáticos tentaram. A resposta só veio no século XIX, com as ideias de Gauss e de Galois: é impossível.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Grupos abelianos: quando a ordem não importa

Calçar a meia e depois o sapato não dá o mesmo resultado que calçar o sapato e depois a meia. Somar 3 e depois 5 dá o mesmo que somar 5 e depois 3. Quando a ordem de duas operações não muda o resultado, dizemos que elas comutam. A palavra que os matemáticos usam para as estruturas em que tudo comuta é uma homenagem a Abel: abeliano. A última memória Depois de provar que a equação geral do quinto grau não tem fórmula, Abel quis saber quais equações têm. Em 1829, num dos últimos artigos que publicou no Jornal de Crelle, estudou uma família especial: as equações em que todas as raízes podem ser obtidas de uma delas, $x$, por funções racionais $\theta_1(x), \theta_2(x),\dots$ que comutam entre si:

October 15, 2026 Iniciar leitura

Permutar as raízes: o teorema de Lagrange

Em 1770, a álgebra tinha um problema parado havia mais de dois séculos. Existiam fórmulas para resolver as equações de grau 2, a de Bhaskara, e também as de grau 3 e 4, publicadas por Cardano em 1545. Para o grau 5, ninguém achava nada. Os melhores matemáticos tinham tentado, e cada método que funcionava até o grau 4 emperrava no 5. Lagrange não tentou mais um método. Fez uma pergunta diferente: por que os métodos antigos funcionam?

October 14, 2026 Iniciar leitura

O legado de Évariste Galois

Esta carta, se julgada pela novidade e pela profundidade das ideias que contém, é talvez o escrito mais substancial de toda a literatura da humanidade. — Hermann Weyl, Simetria (1952) Galois deixou umas sessenta páginas de matemática, e boa parte delas escrita às pressas. Demorou meio século para que fossem entendidas. Quando foram, mudaram a própria ideia do que é a matemática: em vez de estudar números e figuras, estudar as transformações que os deixam iguais.

October 15, 2026 Iniciar leitura

O legado de Niels Henrik Abel

Abel deixou aos matemáticos trabalho para cento e cinquenta anos. — Frase atribuída a Charles Hermite Abel trabalhou como matemático por menos de oito anos. Nesse tempo, fechou a questão mais antiga da álgebra, deu rigor às séries, criou as funções elípticas e escreveu uma memória que só foi entendida inteiramente décadas depois da sua morte. O seu nome está hoje em mais lugares da matemática que o de quase qualquer outro: grupos abelianos, integrais abelianas, funções abelianas, variedades abelianas, o teorema de Abel, a soma de Abel, o teste de Abel.

October 15, 2026 Iniciar leitura

A derivada sem infinitésimos e o teorema do valor médio

No fim do século XVIII, o cálculo funcionava muito bem e ninguém sabia explicar direito por quê. Os $dx$ de Leibniz eram quantidades “infinitamente pequenas”: às vezes eram tratadas como se fossem diferentes de zero, para poder dividir por elas, e logo depois como se fossem zero, para poder desprezá-las. O bispo Berkeley tinha zombado disso em 1734, chamando-as de “fantasmas de quantidades mortas”. Lagrange se incomodava com isso. Em 1797, publicou um livro com um subtítulo que é um programa inteiro:

October 14, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens

Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Abel, desenho de Johan Gørbitz, Paris, 1826: página de origem · domínio público. Primeiro volume do Jornal de Crelle, Berlim, 1826: página de origem · domínio público. Túmulo de Abel em Froland, foto de Karl Ragnar Gjertsen: página de origem · CC BY 4.0. Monumento a Abel em Oslo, escultura de Gustav Vigeland, foto de Wolfmann: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog A figura da lemniscata dividida em oito arcos iguais é uma ilustração original. Os pontos foram calculados com a fórmula $r=\sqrt{\sqrt2-1}$ deduzida no post. A figura não tem texto e serve a todos os idiomas do site.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens

Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Galois aos 15 anos, desenho de autor desconhecido: página de origem · domínio público. Galois desenhado pelo irmão Alfred, publicado em 1848: página de origem · domínio público. A carta a Auguste Chevalier, 29 de maio de 1832: página de origem · domínio público. O colégio Louis-le-Grand, em Paris, foto de Celette: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog A figura das seis simetrias do triângulo é uma ilustração original. A tabuada do post foi conferida por programa, compondo as permutações dos cantos. A figura não tem texto e serve a todos os idiomas do site.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Os multiplicadores de Lagrange: otimizar com uma restrição

Quase toda decisão real é um problema de máximo ou mínimo com restrição. Uma fábrica quer o maior lucro, mas tem uma quantidade limitada de matéria-prima. Uma lata deve guardar 350 ml usando o mínimo de alumínio. Um pêndulo se move como quiser, desde que a bolinha fique presa ao fio. Lagrange encontrou um método único para todos esses problemas. Ele aparece na Mecânica analítica, de 1788, para tratar das amarrações dos sistemas mecânicos, e na Teoria das funções analíticas, de 1797, como regra geral de cálculo.

October 14, 2026 Iniciar leitura