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As pontes de Königsberg e o nascimento dos grafos

Königsberg em 1652, com o rio Pregel e suas ilhas. Dá para contar as pontes.Merian-Erben · domínio público A cidade de Königsberg (hoje Kaliningrado, na Rússia) era cortada pelo rio Pregel, que formava duas ilhas. Sete pontes ligavam as quatro regiões da cidade. Os moradores se perguntavam se era possível dar um passeio atravessando cada ponte exatamente uma vez.

October 10, 2026 Iniciar leitura
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O jogo da imitação: uma máquina pode pensar?

Proponho considerar a pergunta: “As máquinas podem pensar?” — Alan Turing, “Computing Machinery and Intelligence” (1950) Assim começa o artigo que Turing publicou em 1950 na revista de filosofia Mind. Logo na frase seguinte, ele desiste da pergunta. Para respondê-la, seria preciso definir “máquina” e “pensar”, e qualquer definição viraria uma discussão sem fim sobre palavras. Turing propõe trocá-la por outra, que tem a vantagem de poder ser testada. As regras do jogo O jogo original tem três participantes: um homem, uma mulher e um interrogador, em salas separadas. O interrogador se comunica com os outros dois só por mensagens escritas e precisa descobrir quem é o homem e quem é a mulher. O homem tenta enganá-lo; a mulher tenta ajudá-lo.

October 16, 2026 Iniciar leitura
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Créditos das imagens

Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Abel, desenho de Johan Gørbitz, Paris, 1826: página de origem · domínio público. Primeiro volume do Jornal de Crelle, Berlim, 1826: página de origem · domínio público. Túmulo de Abel em Froland, foto de Karl Ragnar Gjertsen: página de origem · CC BY 4.0. Monumento a Abel em Oslo, escultura de Gustav Vigeland, foto de Wolfmann: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog A figura da lemniscata dividida em oito arcos iguais é uma ilustração original. Os pontos foram calculados com a fórmula $r=\sqrt{\sqrt2-1}$ deduzida no post. A figura não tem texto e serve a todos os idiomas do site.

October 15, 2026 Iniciar leitura
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Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Galois aos 15 anos, desenho de autor desconhecido: página de origem · domínio público. Galois desenhado pelo irmão Alfred, publicado em 1848: página de origem · domínio público. A carta a Auguste Chevalier, 29 de maio de 1832: página de origem · domínio público. O colégio Louis-le-Grand, em Paris, foto de Celette: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog A figura das seis simetrias do triângulo é uma ilustração original. A tabuada do post foi conferida por programa, compondo as permutações dos cantos. A figura não tem texto e serve a todos os idiomas do site.

October 15, 2026 Iniciar leitura
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Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de John Napier, autor desconhecido, 1616, Galerias Nacionais da Escócia: página de origem · domínio público. Página de rosto da Mirifici logarithmorum canonis descriptio, 1614: página de origem · domínio público. Uma página das tábuas de 1614: página de origem · domínio público. Página de rosto da Arithmetica logarithmica de Briggs, 1624, foto de Phidus: página de origem · CC BY-SA 4.0. Ossos de Napier do Museu Whipple, foto de Marsupium: página de origem · domínio público. Torre de Merchiston, foto de Kim Traynor: página de origem · CC BY-SA 3.0. Régua de cálculo, foto de Jacek Halicki: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog O mapa, o grafo da trajetória e as figuras interativas (as duas progressões, os dois pontos, a escala de Briggs, os ossos e a régua de cálculo) são originais e funcionam em todos os idiomas do site. O mapa usa dados do OpenStreetMap.

October 15, 2026 Iniciar leitura
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Imagens históricas Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons; as maiores foram reduzidas para 1 200 pixels de largura, sem outra edição. Retrato de Einstein em 1921, possivelmente de Herman Mishkin, usado pela Fundação Nobel: página de origem · domínio público. Einstein por volta de 1904, em Berna, foto de Lucien Chavan: página de origem · domínio público. Einstein no Museu Nacional, Rio de Janeiro, 7 de maio de 1925, autor desconhecido: página de origem · domínio público. Einstein no Jardim Botânico do Rio de Janeiro, maio de 1925, autor desconhecido: página de origem · domínio público. Os instrumentos da expedição em Sobral, 1919, foto de Charles Davidson: página de origem · domínio público. Chapa do eclipse de 1919, do relatório de Dyson, Eddington e Davidson: página de origem · domínio público. Figuras do blog A capa, o esquema do relógio de luz e o passeio aleatório de 2 000 passos são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. O esquema do relógio de luz foi redesenhado a partir de uma figura do antigo curso deste site sobre a teoria da relatividade, de onde vêm também os exemplos do astronauta e das partículas dos raios cósmicos. O passeio aleatório foi gerado por computador, com direções sorteadas.

October 14, 2026 Iniciar leitura
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Imagens históricas Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Johann Bernoulli, gravura do acervo do Rijksmuseum: página de origem · CC0. Retrato de Guillaume de l’Hôpital: página de origem · domínio público. Folha de rosto da Analyse des infiniment petits, Paris, 1696: página de origem · domínio público. Retrato de Daniel Bernoulli, gravura de Johann Jakob Haid segundo Johann Rudolf Huber: página de origem · domínio público. A corrente e o arco, desenhos de Giovanni Poleni, Memorie istoriche della gran cupola del Tempio Vaticano, 1748: página de origem · domínio público. Figuras do blog A capa e o diagrama da cicloide e da reta entre os mesmos pontos são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. O diagrama está em escala: os dois eixos têm a mesma unidade. A tabela das notações de função, no texto sobre o legado, foi refeita a partir de uma tabela do antigo curso de funções deste site.

October 14, 2026 Iniciar leitura
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O legado de James Bernoulli

James Bernoulli viveu só cinquenta anos e publicou pouco em vida, quase tudo em artigos curtos nas Acta Eruditorum. Mesmo assim, poucos matemáticos deixaram tantas palavras, símbolos e ideias que ainda usamos todos os dias: integral, ensaio de Bernoulli, distribuição binomial, números de Bernoulli, lei dos grandes números, estocástico. A palavra integral Leibniz chamava a operação inversa da derivada de calculus summatorius, o cálculo das somas, e a escrevia com o $\int$, um S alongado de summa. Em maio de 1690, ao resolver o problema da isócrona, Jakob escreveu que as duas expressões tinham “integrais iguais”. Foi a primeira vez que a palavra integral apareceu impressa num texto de matemática. Johann adotou o termo, e em 1696 Leibniz concordou em trocar o seu “cálculo sumatório” pelo cálculo integral dos Bernoulli. O símbolo ficou o de Leibniz; o nome, o de Jakob.

October 14, 2026 Iniciar leitura
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O legado de James Clerk Maxwell

Essa mudança na concepção da realidade é a mais profunda e a mais fecunda que a física experimentou desde o tempo de Newton. — Albert Einstein, no centenário de Maxwell (1931) Maxwell morreu aos 48 anos, pouco conhecido do grande público. Em vida, quase ninguém além de um pequeno grupo de físicos britânicos aceitava a sua teoria do campo. Hoje, qualquer pessoa que usa um celular depende dela dezenas de vezes por segundo.

October 14, 2026 Iniciar leitura
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O legado de John Nash

Estatisticamente, pareceria improvável que um matemático ou cientista, aos 66 anos, pudesse, por meio de esforços continuados de pesquisa, acrescentar muito às suas realizações anteriores. Mas eu ainda estou fazendo o esforço. — John Nash, nota autobiográfica para a Fundação Nobel (1994) John Nash é a única pessoa a ter recebido o Prêmio Nobel e o Prêmio Abel, os dois maiores reconhecimentos em economia e em matemática. As duas metades da sua obra parecem não ter nada em comum: uma é sobre decisões humanas, a outra sobre superfícies e equações. O que as une é o estilo: atacar problemas que todos achavam impossíveis com ideias que ninguém tinha tido.

October 14, 2026 Iniciar leitura
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O legado de Sophie Germain

A álgebra não passa de uma geometria escrita; a geometria não passa de uma álgebra desenhada. — Sophie Germain, Considerações gerais sobre o estado das ciências e das letras (1833) Sophie Germain trabalhou quase sempre sozinha, sem diploma, sem cargo e sem alunos. Não teve acesso às aulas, às revistas nem às discussões em que os matemáticos da época aprendiam uns com os outros, e isso aparece nos seus trabalhos: ideias muito originais, às vezes com lacunas que um professor teria apontado a tempo. Mesmo assim, deixou o seu nome em dois campos que quase não se tocam, a teoria dos números e a teoria da elasticidade.

October 14, 2026 Iniciar leitura
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O quinto postulado e as outras geometrias

Do nada, criei um universo novo e estranho. — János Bolyai, carta ao pai (3 de novembro de 1823) Os quatro primeiros postulados de Euclides são curtos e evidentes: traçar uma reta, prolongá-la, desenhar um círculo, todos os ângulos retos são iguais. O quinto é diferente: Se uma reta, ao cortar duas outras, forma do mesmo lado ângulos internos cuja soma é menor que dois retos, essas duas retas, prolongadas indefinidamente, encontram-se desse lado.

October 14, 2026 Iniciar leitura