Cálculo

A braquistócrona: o desafio de 1696

Dados dois pontos A e B num plano vertical, encontrar a curva AMB pela qual um corpo móvel M, descendo pelo próprio peso, vai de A a B no menor tempo possível. — Johann Bernoulli, Acta Eruditorum (junho de 1696) Em junho de 1696, nas Acta Eruditorum, Johann Bernoulli desafiou “os matemáticos mais perspicazes do mundo inteiro”. A pergunta parece de parque de diversões: qual é o formato do escorregador mais rápido entre dois pontos? O nome do problema vem do grego: brachistos, o mais curto, e chronos, tempo. Braquistócrona, a curva do menor tempo.

October 14, 2026 Iniciar leitura

A espiral maravilhosa e a lemniscata

Com o cálculo de Leibniz nas mãos, os irmãos Bernoulli saíram à caça de curvas. Para cada uma perguntavam: qual é a tangente, qual é o comprimento, qual é a área, qual é a curvatura? Muitas dessas curvas eram conhecidas desde os gregos, mas só agora se podia responder a essas perguntas com uma regra geral. Duas ficaram para sempre com o nome de Jakob. A espiral que não muda de forma A espiral logarítmica já tinha sido estudada por Descartes e por Torricelli. Em coordenadas polares, em que cada ponto é dado pela distância $r$ ao centro e pelo ângulo $\theta$, ela é

October 14, 2026 Iniciar leitura

O símbolo ∫: da soma à acumulação

Em 29 de outubro de 1675, Leibniz estava em Paris trabalhando num problema de áreas. Até ali, ele escrevia omn., abreviação do latim omnia, “todos”, para indicar a soma de todas as linhas de uma figura, como fazia o italiano Cavalieri. No meio da página, escreveu: Será útil escrever ∫ em vez de omn. — Leibniz, manuscrito de 29 de outubro de 1675 O símbolo $\int$ é um S alongado, de summa, soma. Na época, o S comprido era uma letra comum na escrita. Desde então, nunca mais foi substituído.

October 11, 2026 Iniciar leitura

Áreas e integração: o caminho inverso das fluxões

Medir áreas de figuras curvas é um dos problemas mais antigos da matemática. Arquimedes, por volta de 250 a.C., mostrou que a área de um segmento de parábola é $\frac43$ da área de um triângulo inscrito nele. Foi um feito genial, mas feito sob medida: cada curva nova exigia uma ideia nova. No século XVII, Fermat, Cavalieri, Wallis e outros já sabiam calcular a área sob $y=x^n$ para vários valores de $n$. Faltava uma regra geral. E faltava perceber algo que Newton e Leibniz perceberam, cada um por seu caminho: calcular áreas e calcular taxas de variação são operações inversas.

October 11, 2026 Iniciar leitura

A arte de conjecturar: contar as chances

Conjecturar uma coisa é medir a sua probabilidade. Por isso definimos a arte de conjecturar, ou estocástica, como a arte de medir o mais exatamente possível as probabilidades das coisas, para que, nos nossos juízos e ações, possamos sempre escolher ou seguir aquilo que nos pareça melhor, mais satisfatório, mais seguro ou mais ponderado. — Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713), parte IV Em 1654, Pascal e Fermat trocaram cartas sobre como dividir o dinheiro de um jogo interrompido. Em 1657, o holandês Christiaan Huygens publicou um livrinho de quinze páginas sobre os cálculos dos jogos de dados. Eram problemas de salão: dados, cartas, apostas.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O cálculo exponencial: derivar x elevado a x

O cálculo de Leibniz sabia derivar potências com expoente fixo, como $x^3$ ou $x^{1/2}$: a derivada de $x^n$ é $nx^{n-1}$. Mas, em 1694, numa carta a Leibniz, Johann Bernoulli pôs na mesa um bicho estranho: a expressão $$y=x^x,$$em que a base e o expoente variam ao mesmo tempo. A regra de $x^n$ não serve, porque o expoente não é fixo. A regra de $a^x$ também não, porque a base não é fixa. Em 1697, Johann publicou nas Acta Eruditorum os “princípios do cálculo exponencial”, com o método para tratar essas potências, que ele chamava de percorrentes, porque o expoente percorre valores.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O princípio dos trabalhos virtuais

Em todo equilíbrio de forças quaisquer, de qualquer maneira que estejam aplicadas, a soma das energias positivas será igual à soma das energias negativas. — Johann Bernoulli, carta a Pierre Varignon (26 de janeiro de 1717) Desde Arquimedes, cada máquina simples tinha a sua própria explicação. A alavanca obedecia à lei dos braços; o plano inclinado, a uma decomposição de forças inventada por Stevin; a roldana, a um raciocínio sobre as cordas; o parafuso, a outro. Em 1717, numa carta ao amigo francês Pierre Varignon, Johann Bernoulli mostrou que todas essas leis são casos de um único princípio.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O teorema de ouro: a lei dos grandes números

Até o mais tolo dos homens, por algum instinto da natureza, sozinho e sem nenhuma instrução, está convencido de que, quanto mais observações forem feitas, menor é o perigo de errar o alvo. — Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713), parte IV Com um dado, sabemos de antemão a chance de cada face: $\frac16$. Mas qual é a chance de um homem de 40 anos viver mais vinte? De chover amanhã? De um remédio funcionar? Nesses casos não há faces iguais para contar. Jakob propôs outro caminho: observar muitas vezes e usar a frequência como estimativa da probabilidade. Se, de muitos homens de 40 anos, metade chegou aos 60, a chance deve ser perto de metade.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O legado de Johann Bernoulli

Johann Bernoulli não escreveu um grande livro, como o irmão escreveu a Ars conjectandi ou Newton os Principia. O seu livro mais famoso saiu com o nome de outro. O que ele deixou foi um jeito de trabalhar: transformar cada problema de física ou de geometria numa equação e resolvê-la com o cálculo de Leibniz. E deixou alunos. O campeão de Leibniz Na disputa sobre quem tinha inventado o cálculo, Newton ou Leibniz, Johann foi o soldado mais combativo do lado de Leibniz. Quando a Royal Society, presidida por Newton, publicou no começo de 1713 um relatório dando a prioridade a Newton, Leibniz respondeu com uma folha anônima, a Charta volans, que citava o julgamento de “um matemático eminente”: era Johann. Nos anos seguintes, Johann desafiou os matemáticos ingleses com problemas difíceis, que considerava impossíveis com o método de Newton. Leibniz morreu em 1716, e Johann continuou a briga sozinho por anos. A disputa separou a matemática inglesa da do continente por quase um século.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Os números de Bernoulli: somar mil potências em sete minutos

Com a ajuda desta tabela, levei menos de meio quarto de hora para descobrir que as décimas potências dos mil primeiros números, somadas, dão 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500. — Jakob Bernoulli, Ars conjectandi (1713), parte II Conta-se que Gauss, menino, somou de 1 a 100 em segundos, emparelhando o primeiro com o último: $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$. Para os quadrados e os cubos também há fórmulas, conhecidas desde Arquimedes e os árabes:

October 14, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens

Imagens históricas Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Johann Bernoulli, gravura do acervo do Rijksmuseum: página de origem · CC0. Retrato de Guillaume de l’Hôpital: página de origem · domínio público. Folha de rosto da Analyse des infiniment petits, Paris, 1696: página de origem · domínio público. Retrato de Daniel Bernoulli, gravura de Johann Jakob Haid segundo Johann Rudolf Huber: página de origem · domínio público. A corrente e o arco, desenhos de Giovanni Poleni, Memorie istoriche della gran cupola del Tempio Vaticano, 1748: página de origem · domínio público. Figuras do blog A capa e o diagrama da cicloide e da reta entre os mesmos pontos são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. O diagrama está em escala: os dois eixos têm a mesma unidade. A tabela das notações de função, no texto sobre o legado, foi refeita a partir de uma tabela do antigo curso de funções deste site.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O legado de James Bernoulli

James Bernoulli viveu só cinquenta anos e publicou pouco em vida, quase tudo em artigos curtos nas Acta Eruditorum. Mesmo assim, poucos matemáticos deixaram tantas palavras, símbolos e ideias que ainda usamos todos os dias: integral, ensaio de Bernoulli, distribuição binomial, números de Bernoulli, lei dos grandes números, estocástico. A palavra integral Leibniz chamava a operação inversa da derivada de calculus summatorius, o cálculo das somas, e a escrevia com o $\int$, um S alongado de summa. Em maio de 1690, ao resolver o problema da isócrona, Jakob escreveu que as duas expressões tinham “integrais iguais”. Foi a primeira vez que a palavra integral apareceu impressa num texto de matemática. Johann adotou o termo, e em 1696 Leibniz concordou em trocar o seu “cálculo sumatório” pelo cálculo integral dos Bernoulli. O símbolo ficou o de Leibniz; o nome, o de Jakob.

October 14, 2026 Iniciar leitura