Semiótica

Quando a letra engana: alunos, professores e maçãs

Em 1981, três pesquisadores da Universidade de Massachusetts, John Clement, Jack Lochhead e George Monk, propuseram a calouros de engenharia um problema simples: Escreva uma equação usando as variáveis $E$ e $P$ para a frase: “Nesta universidade, há seis vezes mais estudantes que professores.” Use $E$ para o número de estudantes e $P$ para o número de professores. Cerca de 37% erraram. E quase todos os que erraram escreveram a mesma coisa:

October 15, 2026 Iniciar leitura

Letras mudas: o k da soma e o t da integral

Estas duas expressões valem o mesmo: $$\sum_{k=1}^{4}k^2=1+4+9+16=30,\qquad\sum_{j=1}^{4}j^2=1+4+9+16=30.$$Trocar $k$ por $j$ não mudou nada. A letra está ali só para marcar por onde a conta passa; terminada a soma, ela desaparece. Letras assim se chamam mudas, ou ligadas. Elas são o contrário das incógnitas: uma incógnita guarda um valor que importa; uma letra muda não guarda valor nenhum depois que a operação acaba. Livres e ligadas Agora compare: $$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.$$Aqui há duas letras de natureza diferente. O $k$ é ligado pela soma: só existe entre o $\Sigma$ e o fim da expressão, e poderia ser trocado por qualquer outra letra. O $n$ é livre: o resultado depende dele. Trocar $n$ por $m$ dá outra afirmação, sobre outro número.

October 15, 2026 Iniciar leitura

f, f(x) e x ↦ x²: três maneiras de nomear uma função

O capítulo 1 contou como Euler, em 1734, inventou o $f(x)$ e como a função virou uma frase com um buraco (Euler e as funções). Esse texto olha para os modos de nomear uma função, e para as confusões que cada um traz. A função e o seu valor Compare duas frases: “a função $f$ é crescente”; “$f(x)$ é positivo para $x>0$”. Na primeira, $f$ é a função inteira, a regra, o objeto que se pode derivar, compor, desenhar. Na segunda, $f(x)$ é um número: o valor que a função dá quando a entrada é $x$. A diferença é a mesma que entre “a calculadora” e “o número que aparece no visor”.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Parâmetros: letras que ficam paradas enquanto outras se movem

Na equação $$y=ax^2+bx+c$$há cinco letras, e elas não estão no mesmo nível. O $x$ e o $y$ variam: percorrem os pontos de uma parábola. O $a$, o $b$ e o $c$ ficam parados enquanto isso acontece, mas podem ser escolhidos à vontade antes. Cada escolha dá uma parábola diferente. Letras assim se chamam parâmetros, do grego pará, ao lado, e métron, medida: o que fica ao lado da medida, regulando-a.

October 15, 2026 Iniciar leitura

A variável: a letra que se move

Chamam-se quantidades variáveis aquelas que aumentam ou diminuem continuamente; e, ao contrário, quantidades constantes aquelas que permanecem as mesmas enquanto as outras mudam. — Marquês de l'Hôpital, Análise dos infinitamente pequenos (1696), definição I A incógnita é uma letra parada: ela esconde um valor, e o valor não muda. A variável é uma letra que se move. Em $y=x^2-4x+3$, ninguém pergunta “quanto vale $x$?”. Pergunta-se outra coisa: “quando $x$ muda, o que acontece com $y$?”.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Letras que generalizam: de 3 + 5 = 5 + 3 a a + b = b + a

Some $3+5$ e $5+3$: dá $8$ nos dois casos. Tente $12+7$ e $7+12$, $100+1$ e $1+100$. Sempre dá certo. Mas quantos exemplos são necessários para ter certeza? Mil? Um milhão? Nenhum número de exemplos basta, porque os pares de números são infinitos. A frase $$a+b=b+a$$resolve o problema de outra maneira. Ela não fala de nenhum par em particular: fala de todos de uma vez. As letras $a$ e $b$ aqui não escondem um valor, como a incógnita; elas representam qualquer valor. É o que Usiskin chamou de aritmética generalizada.

October 15, 2026 Iniciar leitura

A incógnita: um lugar para o que se procura

Uma incógnita é, ao pé da letra, uma coisa in-cognita, não conhecida. Mas não é uma coisa qualquer: é um número determinado que ainda não sabemos qual é. A equação $x+3=7$ não fala de todos os números; fala de um só, e a tarefa é descobrir qual. Nomes para o que não se sabe Por muito tempo, a incógnita teve nome de palavra, não de letra. Por volta do ano 250, Diofanto de Alexandria, na Aritmética, chamava a incógnita de arithmós, “o número”, e a abreviava com um sinal parecido com o sigma final, $\varsigma$. Tinha também abreviações para o quadrado da incógnita, $\Delta^{\Upsilon}$ (dýnamis, potência), e para o cubo, $K^{\Upsilon}$ (kýbos). Em Bagdá, por volta de 820, al-Khwarizmi a chamava de shay’, coisa, e o quadrado dela de māl, riqueza. Ele escrevia tudo por extenso, sem nenhum símbolo. Nos séculos XV e XVI, os italianos traduziram shay’ por cosa, e os algebristas alemães que copiaram os italianos ganharam o apelido de cossistas. Em 1544, Michael Stifel ainda usava sinais diferentes para a coisa, o seu quadrado e o seu cubo: Os sinais “cóssicos” da Aritmética completa de Michael Stifel (1544): cada potência da incógnita tinha o seu próprio símbolo, sem relação visível entre eles.Michael Stifel · Wikimedia Commons · domínio público Nesses sinais, o quadrado e o cubo da coisa não se parecem com a coisa. É uma notação estéril, no sentido deste livro: para saber que o cubo vezes o quadrado dá a quinta potência, era preciso decorar uma tabela. Quando Descartes escreveu $x$, $x^2$, $x^3$, a regra $x^3\cdot x^2=x^5$ passou a estar visível nos expoentes. O capítulo 1 conta essa passagem com mais detalhe, no texto da retórica ao símbolo.

October 15, 2026 Iniciar leitura

Uma letra, cinco papéis

Olhe para estas cinco linhas: $$x+3=7,\qquad A=b\cdot h,\qquad a+b=b+a,\qquad y=kx,\qquad \operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1.$$Todas usam letras, e todas parecem álgebra. Mas as letras não fazem a mesma coisa em nenhuma delas. Em $x+3=7$, o $x$ é um número fixo e desconhecido. Só o $4$ serve. É uma incógnita. Em $A=b\cdot h$, as letras não escondem nada: dizem como três grandezas se relacionam. É uma fórmula, e as letras são grandezas que variam juntas. Em $a+b=b+a$, as letras são números quaisquer. A frase vale para todos os pares. A letra generaliza. Em $y=kx$, o $x$ e o $y$ se movem, e o $k$ fica parado. O $k$ é um parâmetro: fixo em cada problema, mas qualquer. Em $\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1$, o $x$ também é qualquer, mas a frase não é uma equação a resolver: é uma identidade, verdadeira para todo $x$. As concepções de Usiskin Em 1988, o educador norte-americano Zalman Usiskin, num artigo que se tornou clássico, propôs que a álgebra escolar mistura pelo menos quatro concepções, e que cada uma dá à letra um papel diferente:

October 15, 2026 Iniciar leitura

Capítulo 2: referências e créditos

Para aprofundar Saussure, Ferdinand de. Curso de linguística geral. São Paulo: Cultrix. Original: Cours de linguistique générale, Paris: Payot, 1916. Peirce, Charles Sanders. Semiótica. São Paulo: Perspectiva, 1977. Seleção dos Collected Papers, com os textos sobre ícone, índice e símbolo. Peirce, Charles Sanders. The Essential Peirce: Selected Philosophical Writings. 2 vols. Bloomington: Indiana University Press, 1992–1998. Morris, Charles W. Foundations of the Theory of Signs. Chicago: University of Chicago Press, 1938. Santaella, Lucia. O que é semiótica. São Paulo: Brasiliense, 1983. Uma introdução curta e clara, centrada em Peirce. Duval, Raymond. Sémiosis et pensée humaine: registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Berna: Peter Lang, 1995. Tradução brasileira: Semiósis e pensamento humano. São Paulo: Livraria da Física, 2009. Duval, Raymond. A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61, 2006, p. 103–131. Machado, Silvia Dias Alcântara (org.). Aprendizagem em matemática: registros de representação semiótica. Campinas: Papirus, 2003. Falkner, Karen P.; Levi, Linda; Carpenter, Thomas P. Children’s understanding of equality: a foundation for algebra. Teaching Children Mathematics, 6(4), 1999, p. 232–236. Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton: Princeton University Press, 2014. Swetz, Frank J. Capitalism and Arithmetic: The New Math of the 15th Century. La Salle: Open Court, 1987. Inclui a tradução da Aritmética de Treviso (1478), com a regra de três e a multiplicação em gelosia. Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 vols. Chicago: Open Court, 1928–1929. Sobre a barra de fração, os nomes da regra de três e os sinais de proporção. Os textos antigos deste site sobre frações, multiplicação e regra de três forneceram a etimologia de numerador e denominador, a multiplicação egípcia, a gelosia de Pacioli e a tabela dos nomes da regra de três.

October 13, 2026 Iniciar leitura

Como ler uma notação: roteiro e glossário

Se a notação matemática fosse um código transparente, bastaria um dicionário: $+$ quer dizer “mais”, $=$ quer dizer “igual”, e pronto. Este capítulo mostrou que não é assim. O mesmo traço é operação ou nome de número; o igual é balança e não seta; o espaço em branco multiplica em $ab$ e não multiplica em $23$; a raiz dá um valor só, embora a equação tenha dois. Ler matemática é reconstruir, a cada fórmula, as relações entre a escrita, o objeto e as regras.

October 13, 2026 Iniciar leitura

Fórmula, tabela e gráfico: tratamento e conversão

Quando Descartes publicou A Geometria em 1637, ele não inventou nem as curvas nem as equações. As duas coisas já existiam havia séculos. O que ele inventou foi uma ponte entre elas: um jeito de transformar cada curva numa equação e cada equação numa curva, medindo distâncias a partir de uma reta de referência (os dois eixos perpendiculares que hoje chamamos de cartesianos só se firmaram depois dele). O plano cartesiano é, antes de tudo, uma máquina de traduzir de uma escrita para outra.

October 13, 2026 Iniciar leitura

Raiz quadrada: o lado do quadrado e o sinal que esqueceu

Duas perguntas que parecem iguais: Pergunta Resposta Quanto vale $\sqrt9$? $3$ Quais números reais satisfazem $x^2=9$? $3$ e $-3$ Muita gente estranha a primeira linha. Se $(-3)^2$ também dá $9$, por que $\sqrt9$ não é “$\pm3$”? A resposta está no capítulo 1, no nome antigo do símbolo. Radix quadrati era o lado do quadrado. Um quadrado de área $9$ tem lado $3$, e lado nenhum mede $-3$. O lado de um quadrado de área 9 mede 3. A equação x² = 9 tem duas soluções, mas o lado é um só.Diagrama didático produzido para este livro. Um sinal, um valor A matemática moderna guardou a memória do quadrado numa definição: para $a\ge0$, o símbolo $\sqrt a$ indica o único número não negativo cujo quadrado é $a$. Há também uma razão de sintaxe para isso. Um sinal que, ao receber um número, devolvesse às vezes um, às vezes dois valores, não poderia entrar em contas: o que seria $\sqrt9+1$? $4$ ou $-2$? Para que $\sqrt{\phantom{a}}$ funcione como as outras operações, ele precisa dar uma resposta, e a geometria diz qual.

October 13, 2026 Iniciar leitura