Notação Matemática

O sinal de igual é uma balança, não uma seta

Que número deve ir no quadradinho? $$8+4=\square+5$$No fim dos anos 1990, as pesquisadoras norte-americanas Karen Falkner, Linda Levi e Thomas Carpenter fizeram essa pergunta a alunos do primeiro ao sexto ano. Em todas as séries, menos de um em cada dez respondeu $7$. As respostas mais comuns foram $12$ e $17$. Quem respondeu $12$ fez a conta $8+4$ e escreveu o resultado depois do $=$, como sempre fazia. Quem respondeu $17$ somou todos os números que viu. Nenhum dos dois grupos errou a conta. Os dois erraram a leitura do sinal de igual.

October 13, 2026 Iniciar leitura

Quando o lugar é o algoritmo: multiplicação e regra de três

No texto anterior vimos que a posição dos sinais faz parte do sentido de uma fórmula: parênteses, expoentes e barras de fração mostram como as peças se juntam. Há procedimentos inteiros em que essa ideia vai ao extremo: o lugar onde cada número é escrito é o próprio algoritmo. Quem sabe onde pôr os números já sabe fazer a conta. Os antigos textos deste site reuniam três exemplos, de três épocas diferentes.

October 13, 2026 Iniciar leitura

A gramática das fórmulas: parênteses, ordem e espaço

Em 2019, uma conta de quatro números se espalhou pelas redes sociais e provocou milhões de discussões: $$8\div2(2+2)=\;?$$Metade das pessoas respondia $16$; a outra metade, $1$. Calculadoras de marcas diferentes davam respostas diferentes. Professores de matemática se dividiram. E o mais curioso é que os dois lados tinham razão, cada um segundo uma convenção. Quem responde $16$ lê da esquerda para a direita: $8\div2=4$, e $4\cdot(2+2)=16$. Quem responde $1$ entende que a multiplicação “colada”, sem sinal, $2(2+2)$, forma um bloco que vem antes da divisão: $8\div(2\cdot4)=1$. As duas convenções existem e são usadas em livros sérios. O problema não é de conta. É de sintaxe: a expressão foi escrita de um jeito que não deixa claro como os sinais se agrupam. Um matemático nunca escreveria assim; escreveria $\frac{8}{2}(2+2)$ ou $\frac{8}{2(2+2)}$, e a briga não existiria.

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O objeto e as suas representações: o caso das frações

O número cinco pode ser escrito $5$, $\text{V}$, “cinco”, five, $101$ em base dois ou com cinco risquinhos num caderno. As escritas mudam; o número é o mesmo. Até aqui, nada de surpreendente. A surpresa vem quando se pergunta: e onde está o número cinco, afinal? Não está no papel, porque o papel só tem as escritas. Não está numa coleção de cinco maçãs, porque as maçãs têm cor, peso e cheiro, e o número não tem nada disso. Ninguém nunca viu, nem vai ver, o número cinco “em pessoa”. Só vemos as suas representações.

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Peirce: ícone, índice e símbolo

Charles Sanders Peirce (1839–1914) foi, ao mesmo tempo, químico, astrônomo, geodesista, lógico e filósofo. Trabalhou trinta anos medindo a gravidade da Terra para o serviço costeiro dos Estados Unidos, criou, independentemente de Frege, uma notação para os quantificadores da lógica e, nas horas que sobravam, construiu a teoria dos signos mais influente do século XX. Morreu pobre, numa casa na Pensilvânia, deixando dezenas de milhares de páginas manuscritas que até hoje estão sendo editadas.

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O que é um signo? Saussure, Morris e o sinal de menos

A palavra leviano vem de leve. Um homem leviano é leve no sentido de não pesar as consequências do que faz. Quem lê a palavra num poema pode ouvir as duas coisas ao mesmo tempo: a leveza e a leviandade. Os antigos textos deste site a usavam como exemplo de palavra “semioticamente ativa”: a palavra é uma só, os caminhos de leitura são dois, e é justamente isso que a torna rica.

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Capítulo 1: referências e créditos

Para aprofundar Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 vols. Chicago: Open Court, 1928–1929. A obra de referência sobre a origem de cada símbolo; quase todas as datas deste capítulo podem ser conferidas nela. Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton: Princeton University Press, 2014. Uma história acessível, com o mesmo tema deste livro. Ifrah, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. São Paulo: Globo, 1989. Sobre os sistemas de numeração e o zero. Klein, Jacob. Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra. Cambridge, MA: MIT Press, 1968. Sobre a passagem de Diofanto a Viète. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. História da matemática. São Paulo: Blucher, 2012. Crowe, Michael J. A History of Vector Analysis. Notre Dame: University of Notre Dame Press, 1967. Sobre a disputa entre quatérnios e vetores. Maor, Eli. Trigonometric Delights. Princeton: Princeton University Press, 1998. Sobre a história do seno e dos nomes da trigonometria. Grabiner, Judith V. The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus. Cambridge, MA: MIT Press, 1981. Sobre Berkeley, Cauchy e o limite. Miller, Jeff. Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. Página mantida desde os anos 1990, com as primeiras ocorrências conhecidas de cada sinal. MacTutor History of Mathematics, Universidade de St Andrews: biografias de al-Khwarizmi, Fibonacci, Recorde, Viète, Harriot, Oughtred, Cayley, Boole, Frege e Peano. Os textos antigos deste site sobre geometria, trigonometria, raiz quadrada, equação do segundo grau, logaritmos, derivadas, regra da cadeia, integrais, limites, funções, equações diferenciais, grupos, matrizes, vetores e quatérnios foram a base para a reescrita deste capítulo. Deles vêm a história do radix quadrati, a figura de completar o quadrado, o teorema de Pitágoras em latim, a etimologia de cateto, hipotenusa, minuto e segundo, a passagem do $\Sigma$ ao $\int$, a prova de que $1=2$, a lei de Hooke, o “cânon do calor” e a propagação de erros, a abreviação de logarithmus até $\log$, a etimologia de derivada e de função, a leitura da função como uma frase com um buraco, a tabuada grupal dos movimentos do triângulo, a disputa entre quatérnios e vetores e as ideias de notação ativa e notação estéril.

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Boole, Frege e Peano: a escrita do raciocínio

Até o século XIX, a notação matemática servia para escrever quantidades e as operações entre elas. Faltava uma escrita para outra coisa, que os matemáticos faziam o tempo todo sem anotar: raciocinar. “Se isto, então aquilo”; “para todo número”; “existe um número tal que”. Tudo isso continuava sendo dito em latim, francês ou alemão, entre uma fórmula e outra. Este texto conta como o próprio raciocínio ganhou sinais. A álgebra do pensamento No século XIX, a matemática começou a olhar para dentro: o que é um número? o que é uma prova? Para responder, precisava de uma escrita não só para quantidades, mas para afirmações e para os passos entre elas.

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Equações diferenciais: a lei em anagrama, o ∂ e o ∇

Em 1676, o inglês Robert Hooke publicou, no fim de um livro sobre helioscópios, instrumentos para observar o Sol, uma lista de descobertas que ainda não queria revelar. Uma delas vinha assim: $$\textit{ceiiinosssttuv}$$Era um anagrama: as letras de uma frase em latim, embaralhadas e postas em ordem alfabética. Era um jeito de registrar a prioridade de uma descoberta sem entregá-la aos rivais. Dois anos depois, em 1678, Hooke revelou a frase: ut tensio, sic vis, “como a extensão, assim a força”. Quanto mais se estica uma mola, mais forte ela puxa de volta. Hoje escrevemos isso em quatro sinais:

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Hamilton, Gibbs e Heaviside: a guerra das setas

Em 16 de outubro de 1843, o irlandês William Rowan Hamilton caminhava com a esposa ao longo do Royal Canal, em Dublin, quando resolveu, de repente, um problema que o atormentava havia quinze anos. Tirou um canivete do bolso e riscou a fórmula numa pedra da ponte de Brougham: $$i^2=j^2=k^2=ijk=-1.$$A inscrição se apagou há muito tempo, mas hoje há uma placa no lugar, e todos os anos matemáticos fazem uma caminhada até a ponte no dia 16 de outubro. Raramente uma notação teve um nascimento tão bem documentado.

October 13, 2026 Iniciar leitura

Galois e Cayley: uma álgebra para o que não é número

Na madrugada de 30 de maio de 1832, em Paris, um rapaz de vinte anos passou a noite escrevendo. Évariste Galois tinha um duelo marcado para o amanhecer e sabia que provavelmente não sobreviveria. Escreveu uma longa carta ao amigo Auguste Chevalier, resumindo as ideias que a Academia de Ciências tinha recusado ou perdido, e pediu que ela fosse mostrada a Jacobi e a Gauss, “não sobre a verdade, mas sobre a importância destes teoremas”. Na margem de um manuscrito, deixou uma frase que ficou famosa:

October 13, 2026 Iniciar leitura

Cauchy e o limite: como escrever o infinitamente pequeno

Os antigos textos deste site começavam o assunto com uma brincadeira. Tome dois números iguais, $a=b$, e faça contas que parecem inocentes: $$\begin{aligned} a&=b\\ a^2&=ab\\ a^2-b^2&=ab-b^2\\ (a+b)(a-b)&=b(a-b)\\ a+b&=b\\ 2b&=b\\ 2&=1. \end{aligned}$$Onde está o erro? Na passagem da quarta para a quinta linha, dividimos os dois lados por $a-b$. Mas $a=b$, então $a-b=0$, e dividimos por zero. A escrita esconde o crime: $a-b$ parece um número qualquer, e só quem lembra da primeira linha percebe que ele é zero. Uma divisão por zero disfarçada é a forma mais simples daquilo que os matemáticos chamam de indeterminação, o famoso $\frac00$.

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