Notação Matemática

Euler e as funções: dar nome a uma regra

Se existe alguém que merece o título de “arquiteto da notação moderna”, é Leonhard Euler. Ele escreveu mais páginas de matemática do que qualquer pessoa na história, e escreveu para ser lido: seus livros eram usados para ensinar, e as convenções que ele adotava se espalhavam junto com eles. Muitos símbolos que parecem ter existido sempre passaram pelas mãos dele. Leonhard Euler (1707–1783), em retrato de Jakob Emanuel Handmann, 1753.Jakob Emanuel Handmann · domínio público 1706William Jones usa $\pi$ para a razão entre a circunferência e o diâmetro. Quase ninguém repara. 1727Num manuscrito, Euler chama de $e$ o número cujo logaritmo é $1$. 1734Euler escreve $f\!\left(\frac{x}{a}+c\right)$: é o nascimento da notação $f(x)$ para funções. 1736Na Mechanica, Euler adota o $\pi$ de Jones; com a Introductio (1748), o símbolo vira padrão. 1755Euler usa $\Sigma$ para indicar uma soma. 1777Euler usa $i$ para $\sqrt{-1}$, num texto publicado só depois da sua morte. O que esses símbolos têm em comum é que cada um transforma uma descrição num nome. Antes de Euler, para falar de uma função era preciso descrever a regra (“a quantidade formada de $x$ elevando ao quadrado e somando um”). Depois de $f(x)$, a regra ganha um nome curto, e um nome pode entrar em outras contas: $f(x+h)-f(x)$, $f(g(x))$, $f'(x)$. A função vira um objeto que se manipula como se manipulava um número. Para mais detalhes sobre cada símbolo, veja a linguagem que Euler nos deixou.

October 13, 2026 Iniciar leitura

Da exaustão à integral: Σ, ∫ e o número π

Calcular a área de um retângulo é fácil: base vezes altura. Calcular a de um triângulo também: metade disso. O problema começa quando a figura é curva. Não há como ladrilhar um círculo com quadradinhos sem sobrar ou faltar um pedaço. Durante dois mil anos, os matemáticos atacaram esse problema com a mesma ideia: aproximar a curva por figuras retas cada vez menores. O que mudou foi a maneira de escrever essa ideia.

October 13, 2026 Iniciar leitura

Leibniz contra os pontos: notação ativa e notação estéril

Em 29 de outubro de 1675, em Paris, Leibniz estava somando infinitas fatias finas debaixo de uma curva e cansou de escrever omnia, “todas”, na frente de cada soma. Anotou no caderno: Utile erit scribi ∫ pro omnia. (Será útil escrever ∫ em vez de “todas”.) — Leibniz, manuscrito de 29 de outubro de 1675 O $\int$ é um S esticado, de summa. Duas semanas depois, no mesmo caderno, apareceu o $d$, de differentia, para as diferenças infinitamente pequenas. Com esses dois sinais, Leibniz tinha nas mãos uma linguagem para o cálculo inteiro. Isaac Newton tinha chegado às mesmas ideias dez anos antes, em Cambridge, mas escrevia de outro jeito. Esse é o melhor caso da história para ver como a forma de um signo muda o que se consegue fazer com ele.

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Napier e o logaritmo: a abreviação maravilhosa

Hoje, para muitos estudantes, o logaritmo é um bicho-papão: uma palavra estranha, um $\log$ que aparece do nada e regras para decorar. No século XVII ele era o contrário disso. Era a calculadora da Europa, a ferramenta que poupava meses de trabalho a astrônomos, navegadores e contadores. Os antigos textos deste site diziam que o logaritmo era o exemplo mais puro de mirabilis abbreviatio, a abreviação maravilhosa. E o próprio inventor concordava: o título do seu livro começa com a palavra maravilhoso.

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+, −, × e =: a pequena história dos sinais

Os sinais mais simples da matemática são também os mais jovens. Euclides nunca escreveu um $+$. Al-Khwarizmi nunca escreveu um $=$. Viète, que já usava letras, ainda escrevia aequatur por extenso. Quase todos os sinais de operação que uma criança aprende no primeiro ano nasceram na Europa entre o fim do século XV e o fim do século XVII, num intervalo de uns duzentos anos. 1489Johannes Widmann imprime $+$ e $-$ num livro de aritmética comercial em Leipzig. 1525Christoff Rudolff usa $\surd$ para a raiz quadrada no seu livro de álgebra, o Coss. 1557Robert Recorde inventa o $=$ em The Whetstone of Witte. 1591François Viète usa letras para quantidades conhecidas e desconhecidas. 1631William Oughtred usa $\times$ para a multiplicação; no mesmo ano sai o livro póstumo de Thomas Harriot com $<$ e $>$. 1637René Descartes escreve as potências como expoentes: $x^3$, $x^4$. 1659Johann Rahn usa $\div$ para a divisão. 1698Leibniz propõe o ponto $\cdot$ para a multiplicação, para não confundir $\times$ com a letra $x$. Mais e menos: marcas de armazém Os sinais $+$ e $-$ aparecem impressos pela primeira vez em 1489, num manual de contas para comerciantes escrito por Johannes Widmann. Ali eles ainda não indicam bem uma operação: marcam excesso e falta. Uma caixa de mercadoria que pesava mais do que devia levava um $+$; uma que pesava menos, um $-$. A hipótese mais aceita é que o $+$ seja uma abreviação de et (“e”, em latim), escrita depressa até virar uma cruz.

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Das palavras às letras: a álgebra aprende a escrever

Em Bagdá, por volta do ano 820, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi trabalhava na Casa da Sabedoria, a grande biblioteca do califa al-Ma’mun. Ali escreveu um livro com um título longo, O livro compendioso sobre o cálculo por restauração e balanceamento. “Restauração”, em árabe, é al-jabr. Da palavra nasceu álgebra. Página de abertura do livro de al-Khwarizmi sobre al-jabr e al-muqābala, numa cópia manuscrita.Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi · Wikimedia Commons · domínio público O livro inteiro não tem um único símbolo. Nem $x$, nem $+$, nem $=$. Até os números são escritos por extenso. Um dos problemas mais famosos é este:

October 13, 2026 Iniciar leitura

Seno, cateto e hipotenusa: a trigonometria e seus nomes perdidos

Quase todo estudante aprende a dizer “seno”, “cosseno”, “cateto” e “hipotenusa” sem saber o que essas palavras querem dizer. São rótulos para decorar, como nomes de ruas numa cidade estranha. Mas cada um deles já foi uma descrição, e alguns guardam histórias inesperadas. O seno, por exemplo, é o resultado de uma tradução que deu errado. Pitágoras em latim O teorema mais famoso da geometria era, durante muito tempo, uma frase sobre quadrados de verdade, desenhados sobre os lados de um triângulo. Os antigos textos deste site o escreviam à maneira medieval:

October 13, 2026 Iniciar leitura

Euclides: a figura e a prova

Por volta de 300 a.C., em Alexandria, Euclides reuniu a geometria grega em treze livros, os Elementos. Durante mais de dois mil anos, foi o livro de matemática mais lido do mundo, e a sua primeira proposição mostra como ele funciona: Sobre uma reta dada e limitada, construir um triângulo equilátero. — Euclides, Elementos, livro I, proposição 1 A receita é curta. Seja $AB$ a reta dada. Com centro em $A$ e raio $AB$, trace um círculo; com centro em $B$ e o mesmo raio, trace outro. Chame de $C$ um ponto onde os dois círculos se cortam. Então $AC=AB$, porque ambos são raios do primeiro círculo, e $BC=AB$, porque ambos são raios do segundo. Coisas iguais a uma mesma coisa são iguais entre si, logo $AC=BC=AB$, e o triângulo $ABC$ é equilátero.

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O zero e a posição: números que calculam

Tente multiplicar $\text{XLVII}$ por $\text{XII}$. Sem converter para os nossos algarismos. É difícil saber até por onde começar. O $\text{X}$ de $\text{XLVII}$ vale dez, mas está antes do $\text{L}$, então é subtraído: $\text{XL}=40$. O $\text{V}$ vale cinco onde quer que esteja. Não existe uma coluna das unidades, nem uma das dezenas, e cada símbolo traz seu valor pendurado no próprio desenho. A mesma conta, escrita como $47\times 12$, se resolve em duas linhas:

October 13, 2026 Iniciar leitura

Radix quadrati: a matemática também tem uma escrita

Pergunte a um estudante o que é a raiz quadrada de 9 e ele provavelmente dirá “3”. Pergunte por que se chama raiz, e por que quadrada, e a conversa costuma acabar ali. O nome virou um rótulo vazio, e o símbolo $\sqrt{\phantom{9}}$ virou um gancho estranho que “tira” alguma coisa de dentro do número. Mas o nome já contou a história inteira um dia. Os geômetras gregos chamavam o número procurado simplesmente de lado (pleurá): o lado de um quadrado de área 9 mede 3. Os algebristas árabes chamavam-no de jidhr, a raiz de onde o quadrado “cresce”, e os tradutores latinos da Idade Média escreveram radix. Uma frase como

October 13, 2026 Iniciar leitura