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A palavra "função"

A palavra vem do latim functus, particípio do verbo fungor: cumprir um encargo, exercer uma atividade. A função é aquilo que “faz o trabalho” de levar um número a outro. Já defunctus é quem não exerce mais função nenhuma, e daí vem a palavra defunto. Uma notação de Leibniz para funções, das cartas a Johann Bernoulli.Acervo Euler’s Eyes O nome e o símbolo levaram mais de um século para se firmar:

October 10, 2026 Iniciar leitura
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O teorema de Euler e a criptografia

Em 1763, Euler estudou a função $\varphi(n)$ (o símbolo $\varphi$ veio depois, com Gauss): a quantidade de números de 1 a $n$ que não têm fator comum com $n$. Por exemplo, $\varphi(10) = 4$, porque de 1 a 10 só 1, 3, 7 e 9 servem. Ele provou que, se $a$ não tem fator comum com $n$, então $$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}.$$ Veja a ideia com $n = 10$ e $a = 3$. Multiplique por 3 os números 1, 3, 7 e 9:

October 10, 2026 Iniciar leitura
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Créditos das imagens de Pascal

Imagens históricas Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Blaise Pascal, autor desconhecido, por volta de 1690, Versailles: página de origem · domínio público. Triângulo de Yang Hui, no livro de Zhu Shijie, 1303: página de origem · domínio público. Primeira página do Triangulus arithmeticus, exemplar de Clermont Auvergne Métropole: página de origem · CC BY-SA 4.0. Pascalina do Musée des Arts et Métiers, foto de David Monniaux, 2005: página de origem · CC BY-SA 3.0. Marco da experiência no Puy de Dôme, Agence Rol, 1923, Bibliothèque nationale de France: página de origem · domínio público. Placa do túmulo em Saint-Étienne-du-Mont, Agence Meurisse, 1923, Bibliothèque nationale de France: página de origem · domínio público. Manuscrito autógrafo dos Pensamentos, exposição da Bibliothèque nationale de France, foto de ActuaLitté, 2016: página de origem · CC BY-SA 2.0. Primeira página dos Pensamentos, contrafação da edição de 1670, exemplar de Clermont Auvergne Métropole: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog A capa, a fonte de taças, o esquema do “vai um” e o arco de cicloide são ilustrações originais. Os controles do triângulo, da partilha e da prensa hidráulica foram feitos para esta trilha. São recursos didáticos, não reproduções de manuscritos nem do mecanismo interno da Pascalina.

October 11, 2026 Iniciar leitura
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Outras contribuições e legado

Outras contribuições Física: a lei de Gauss do eletromagnetismo, o estudo do magnetismo da Terra e a unidade gauss. Números complexos: os inteiros de Gauss, números $a + bi$ com $a$ e $b$ inteiros. Astronomia e geodésia: órbitas de planetas e cometas, o heliotrópio e a medição de Hannover. Algoritmos: um método para calcular a data da Páscoa e, num manuscrito de 1805, uma versão da transformada rápida de Fourier, redescoberta em 1965 e usada hoje em todo celular. Para lembrar Gauss nasceu pobre em Braunschweig, estudou graças a um duque e passou a vida em Göttingen. Somou de 1 a 100 juntando pares: $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$. Aos 18 anos mostrou como construir o polígono de 17 lados, usando só raízes quadradas. Criou a notação de congruência, $a \equiv b \pmod n$, a matemática do relógio e dos noves-fora. Provou que todo polinômio de grau $n$ tem $n$ raízes complexas. Estimou a quantidade de primos: $\pi(x) \approx x / \ln x$. Reencontrou Ceres com o método dos mínimos quadrados, que mostra por que a média é a melhor estimativa. Deu nome à curva normal, o sino de Gauss. Mostrou que a curvatura pode ser medida de dentro da superfície: por isso não existe mapa plano perfeito. Deu nome ao determinante e organizou a eliminação que resolve sistemas de equações. Com dois pontos bem escolhidos, $\pm 1/\sqrt{3}$, calculou integrais exatas para polinômios até grau 3. Todos os tópicos de Carl Friedrich Gauss · ← A quadratura de Gauss: integrar com dois pontos · Créditos das imagens →

October 10, 2026 Iniciar leitura
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*Physis*: decifrar os traços da natureza

Nada acontece no universo sem que apareça alguma regra de máximo ou de mínimo. — Leonhard Euler, 1744 Para Leibniz e Euler, a natureza é feita da melhor maneira possível, e por isso segue regras. Na nossa linguagem: o raciocínio (méthode) do criador está nos traços (graphiko’s) da natureza (physis), e cabe a nós decifrá-los (máthema). Os mesmos desenhos aparecem nos lugares mais diferentes: Carapaça do tatu: placas hexagonais.Acervo Euler’s Eyes Crosta terrestre: colunas de basalto em hexágonos, formadas quando a lava esfria.Acervo Euler’s Eyes Espiga: de novo, o padrão hexagonal.Acervo Euler’s Eyes Concha do náutilo: uma espiral logarítmica.Acervo Euler’s Eyes Ovo: a curva oval distribui a pressão como um arco.Acervo Euler’s Eyes Estrela-do-mar: simetria pentagonal.Acervo Euler’s Eyes Por que tantos hexágonos? Só três polígonos regulares cobrem o plano sem deixar buracos: o triângulo, o quadrado e o hexágono. Desses, o hexágono é o que cerca mais área com menos borda. É o jeito mais econômico de dividir um espaço em partes iguais, e foi o que o matemático Thomas Hales provou em 1999.

October 10, 2026 Iniciar leitura
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Outras contribuições e legado

Outras contribuições A lista completa ocuparia um livro inteiro. Alguns destaques: Reta de Euler: em todo triângulo, o ortocentro, o baricentro e o circuncentro estão alinhados. Constante de Euler-Mascheroni: $\gamma \approx 0{,}5772$, a diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural. Mecânica e fluidos: as equações de Euler para fluidos e para a rotação de corpos rígidos. Cálculo das variações: a equação de Euler-Lagrange, base da física moderna. Funções especiais: a função gama, que estende o fatorial para números não inteiros. Para lembrar Euler viveu entre Basileia, São Petersburgo e Berlim, e produziu metade da obra já quase cego. Ele deu à matemática a notação $f(x)$, $e$, $i$, $\Sigma$ e popularizou $\pi$. Descobriu que $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ e que $e^{i\pi} + 1 = 0$. Batizou o número $e = \lim (1 + 1/n)^n$, que nasce dos juros compostos e é a base do logaritmo natural. Resolveu a equação da mola com $e^{rt}$ e a sua fórmula: a solução é uma senoide. Com as pontes de Königsberg, criou a teoria dos grafos. Com $V - A + F = 2$, explicou por que toda bola de futebol clássica tem 12 pentágonos. Ligou os números primos ao cálculo e criou o teorema que hoje protege a internet. Todos os tópicos de Leonhard Euler · ← O teorema de Euler e a criptografia · Créditos das imagens →

October 10, 2026 Iniciar leitura
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Créditos das imagens

Imagens do Wikimedia Commons, todas em domínio público: Gauss em 1840: Christian Albrecht Jensen. Gauss em 1803: Johann Christian August Schwartz. Casa natal de Gauss, foto de 1914. Diário de Gauss: Göttinger Digitalisierungszentrum. Disquisitiones Arithmeticae, 1801. Giuseppe Piazzi: F. Bordiga. Sophie Germain: Berthe Chégaray. Heliotrópio de Gauss. Rede de triângulos: Reinhold Gerstetter para o Deutsche Bundesbank. Theoria motus corporum coelestium, 1809. Wilhelm Weber: Rudolph Hoffmann. As imagens da nota de 10 marcos, da quadratura do círculo e das notações de determinante e matriz são do acervo do Euler’s Eyes. As figuras interativas foram feitas para este site.

October 10, 2026 Iniciar leitura
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O infinito e a divisão por zero

O frade e matemático Marin Mersenne era o grande amigo de Descartes. Era por meio das cartas de Mersenne que Descartes conversava com os sábios da Europa, inclusive com Fermat. Na geração seguinte, o inglês John Wallis criou em 1655 o símbolo $\infty$ para o infinito. Marin Mersenne (1588–1648), o amigo e principal correspondente de Descartes.Acervo Euler’s Eyes John Wallis (1616–1703), criador do símbolo ∞.Acervo Euler’s Eyes Na escola aprendemos um cânone, uma regra: nunca dividirás por zero. Mas quase nunca se explica o porquê. Vamos construir o pensamento, diminuindo o divisor aos poucos:

October 10, 2026 Iniciar leitura
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Créditos das imagens

Imagens do Wikimedia Commons, todas em domínio público (ou CC0): Retrato de Euler: Jakob Emanuel Handmann, 1753. Basileia em 1615: Matthäus Merian. Johann Bernoulli: Rijksmuseum (CC0). Academia de Ciências de São Petersburgo: G. Kachalov, segundo M. Makhaev, 1753. Frederico II: ateliê de Antoine Pesne, 1745. Introductio in analysin infinitorum, 1748. Lettres à une princesse d'Allemagne, 1768. Catarina, a Grande: Alexander Roslin. Euler em 1778: Joseph Friedrich August Darbes. Königsberg em 1652: Merian-Erben. Figura das pontes: Leonhard Euler, 1736. As imagens das seções sobre a raiz quadrada, as eras da matemática, o número $e$ e a mola são do acervo do Euler’s Eyes. As figuras interativas foram feitas para este site.

October 10, 2026 Iniciar leitura
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Outras contribuições e legado

Outras contribuições Os vórtices de Descartes: para ele, os planetas eram arrastados por redemoinhos de matéria em volta de cada estrela.René Descartes, Princípios da Filosofia · domínio público Óptica: além da lei da refração, estudou o formato ideal das lentes, que deveriam ter perfil de elipse ou hipérbole para focar a luz num ponto. Fólio de Descartes: a curva $x^3 + y^3 = 3axy$, que ele propôs como desafio a Fermat para achar retas tangentes. Física: formulou uma versão do princípio da inércia, de que um corpo em movimento continua em linha reta se nada o atrapalhar. Filosofia: as Meditações e os Princípios da Filosofia fizeram dele o ponto de partida da filosofia moderna. Para lembrar Descartes viveu entre a França, a Holanda e a Suécia, e escreveu o Discurso do Método em francês para ser lido por todos. Criou a geometria analítica: pontos viram pares $(x, y)$ e figuras viram equações. Mostrou como construir $\sqrt{a}$ com régua e compasso e fixou a notação $x$, $y$, $z$ e $x^3$. A regra dos sinais diz quantas raízes positivas um polinômio pode ter. A soma dos defeitos dos vértices de um poliedro é 720°, o que leva à fórmula $V - A + F = 2$. Explicou o arco-íris: os raios se acumulam a 42° do ponto oposto ao Sol. Com ele nasce a ideia de função: uma regra que “ouve” um número e “fala” outro. A palavra vem do latim functus, e o símbolo $f(x)$ é de Euler (1734). Não existe $1 \div 0$: perto de zero, $\frac{1}{x}$ foge para $+\infty$ de um lado e para $-\infty$ do outro. Todos os tópicos de René Descartes · ← O infinito e a divisão por zero · Créditos das imagens →

October 10, 2026 Iniciar leitura
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Créditos das imagens

Imagens do Wikimedia Commons, todas em domínio público: Retrato de Descartes: Frans Hals. Discurso do Método, 1637. Princesa Elisabeth da Boêmia: Gerard van Honthorst. Descartes e a rainha Cristina: Nils Forsberg, segundo Pierre-Louis Dumesnil. Página de A Geometria e livro I de A Geometria: René Descartes, 1637. Figura do arco-íris: René Descartes, Os Meteoros, 1637. Vórtices: René Descartes, Princípios da Filosofia. As imagens da parte “Descartes e a ideia de função” são do acervo do Euler’s Eyes. As figuras interativas foram feitas para este site.

October 10, 2026 Iniciar leitura
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Capítulo 1: referências e créditos

Para aprofundar Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 vols. Chicago: Open Court, 1928–1929. A obra de referência sobre a origem de cada símbolo; quase todas as datas deste capítulo podem ser conferidas nela. Mazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton: Princeton University Press, 2014. Uma história acessível, com o mesmo tema deste livro. Ifrah, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. São Paulo: Globo, 1989. Sobre os sistemas de numeração e o zero. Klein, Jacob. Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra. Cambridge, MA: MIT Press, 1968. Sobre a passagem de Diofanto a Viète. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. História da matemática. São Paulo: Blucher, 2012. Crowe, Michael J. A History of Vector Analysis. Notre Dame: University of Notre Dame Press, 1967. Sobre a disputa entre quatérnios e vetores. Maor, Eli. Trigonometric Delights. Princeton: Princeton University Press, 1998. Sobre a história do seno e dos nomes da trigonometria. Grabiner, Judith V. The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus. Cambridge, MA: MIT Press, 1981. Sobre Berkeley, Cauchy e o limite. Miller, Jeff. Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. Página mantida desde os anos 1990, com as primeiras ocorrências conhecidas de cada sinal. MacTutor History of Mathematics, Universidade de St Andrews: biografias de al-Khwarizmi, Fibonacci, Recorde, Viète, Harriot, Oughtred, Cayley, Boole, Frege e Peano. Os textos antigos deste site sobre geometria, trigonometria, raiz quadrada, equação do segundo grau, logaritmos, derivadas, regra da cadeia, integrais, limites, funções, equações diferenciais, grupos, matrizes, vetores e quatérnios foram a base para a reescrita deste capítulo. Deles vêm a história do radix quadrati, a figura de completar o quadrado, o teorema de Pitágoras em latim, a etimologia de cateto, hipotenusa, minuto e segundo, a passagem do $\Sigma$ ao $\int$, a prova de que $1=2$, a lei de Hooke, o “cânon do calor” e a propagação de erros, a abreviação de logarithmus até $\log$, a etimologia de derivada e de função, a leitura da função como uma frase com um buraco, a tabuada grupal dos movimentos do triângulo, a disputa entre quatérnios e vetores e as ideias de notação ativa e notação estéril.

October 13, 2026 Iniciar leitura