História Da Matemática

Os multiplicadores de Lagrange: otimizar com uma restrição

Quase toda decisão real é um problema de máximo ou mínimo com restrição. Uma fábrica quer o maior lucro, mas tem uma quantidade limitada de matéria-prima. Uma lata deve guardar 350 ml usando o mínimo de alumínio. Um pêndulo se move como quiser, desde que a bolinha fique presa ao fio. Lagrange encontrou um método único para todos esses problemas. Ele aparece na Mecânica analítica, de 1788, para tratar das amarrações dos sistemas mecânicos, e na Teoria das funções analíticas, de 1797, como regra geral de cálculo.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O princípio de Pascal: multiplicar forças com água

Um elefante e uma mulher de salto alto: quem afunda mais num chão de terra mole? Pode ser a mulher. O elefante pesa cinquenta vezes mais, mas o peso dele se espalha por quatro patas largas. O da mulher se concentra na ponta fina do salto. O que afunda o chão não é a força, e sim a pressão: a força dividida pela área em que ela se apoia. $$p=\frac FA.$$A unidade de pressão é o pascal: $1\ \text{Pa}=1\ \text{N/m}^2$, uma força de um newton espalhada num metro quadrado. É uma pressão minúscula; a atmosfera, ao nível do mar, exerce cerca de $100\,000$ Pa.

October 11, 2026 Iniciar leitura

Descida infinita: uma solução menor leva à contradição

Imagine uma escada em que cada degrau tem um número inteiro positivo. Você pode descer: 10, 7, 4, 2, 1… mas em algum momento a escada acaba. Não existe uma sequência infinita de inteiros positivos cada vez menores. Parece óbvio. Fermat transformou essa obviedade numa das ferramentas mais poderosas da teoria dos números: a descida infinita. Como funciona Para provar que uma equação não tem solução em inteiros positivos: Suponha que ela tenha uma solução. A partir dela, construa outra solução, também em inteiros positivos, mas menor. Repita: dessa nova solução sai outra menor, e assim por diante, para sempre. Isso é impossível, porque a escada dos inteiros positivos acaba. Logo, a solução do passo 1 não existia. Fermat tinha orgulho do método. Numa carta de 1659 ao matemático Pierre de Carcavi, disse que era com ele que tinha provado a maior parte dos seus resultados sobre números.

October 11, 2026 Iniciar leitura

Calculemus: a ideia de calcular raciocínios

A única maneira de corrigir nossos raciocínios é torná-los tão palpáveis quanto os dos matemáticos, de modo que possamos achar nosso erro num relance. E, quando houver disputas entre as pessoas, poderemos simplesmente dizer: calculemos!, sem mais delongas, para ver quem tem razão. — Leibniz, A arte da descoberta (1685) Leibniz era advogado, diplomata e filósofo. Passou a vida vendo discussões que não terminavam nunca, entre religiões, entre países, entre escolas filosóficas. Um matemático, por outro lado, não discute se $2+2$ é 4: faz a conta. E se os raciocínios pudessem ser calculados como números?

October 11, 2026 Iniciar leitura

Luz e cores: o prisma não fabrica o arco-íris

Na época de Newton, já se sabia que um prisma de vidro, atravessado pela luz do Sol, produz uma faixa colorida. A explicação aceita vinha de Aristóteles e de Descartes: a luz branca é pura, e o vidro a modifica, escurecendo-a aos poucos. Pouca modificação dava vermelho; muita, azul e violeta. Newton desconfiou. E se as cores já estivessem dentro da luz branca, e o prisma apenas as separasse? O quarto escuro Em 1666, Newton escureceu um quarto, fez um furo pequeno na janela e deixou passar um fino feixe de sol. No caminho, pôs um prisma. Na parede do outro lado apareceu uma faixa colorida, do vermelho ao violeta.

October 11, 2026 Iniciar leitura

A curva normal, o sino de Gauss

Se os erros de medida são aleatórios, como eles se distribuem? Na Theoria motus, Gauss partiu da ideia de que a média é a melhor estimativa e chegou à forma da curva dos erros: $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}},$$ em que $\mu$ é a média e $\sigma$ é o desvio padrão. É a curva normal, ou sino de Gauss: alta no meio, simétrica, e cada vez mais baixa longe da média. Ela aparece em toda parte, das alturas das pessoas aos erros de uma máquina.

October 10, 2026 Iniciar leitura

Descartes e a ideia de função

Descartes nunca usou a palavra “função”. Mas foi ele quem tornou a ideia possível: em A Geometria, uma curva deixa de ser só um desenho e passa a ser uma relação entre dois números, $x$ e $y$. Quando um muda, o outro muda junto, seguindo uma regra. Nesta parte, contamos como essa ideia ganhou nome, símbolo e gráfico. Os cinco tópicos a seguir desenvolvem essa leitura e a história posterior da ideia de função.

October 10, 2026 Iniciar leitura

$V - A + F = 2$ e a bola de futebol

Em 1750, numa carta ao matemático Christian Goldbach, Euler anotou uma relação entre o número de vértices ($V$), arestas ($A$) e faces ($F$) de um poliedro convexo: $$V - A + F = 2.$$ Gire os poliedros com o dedo ou o mouse e confira a conta: V, A e F são contados pelo programa a partir do próprio desenho. Em todos dá 2. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 10, 2026 Iniciar leitura

Morfogênese: as manchas do leopardo em equações

Um embrião começa como uma bola de células quase iguais. Mesmo assim, termina com cinco dedos em cada mão, listras numa zebra e manchas num leopardo. De onde vem a forma, se no começo tudo é uniforme? Em 1952, no último grande artigo que publicou, “A base química da morfogênese”, Turing propôs uma resposta matemática que os biólogos levaram décadas para confirmar. Duas substâncias, duas velocidades A ideia é imaginar duas substâncias químicas, que Turing chamou de morfógenos, espalhando-se num tecido. Hoje se costuma descrevê-las assim:

October 16, 2026 Iniciar leitura

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Imagens históricas Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Jakob Bernoulli, pintado em 1687 pelo irmão Niklaus Bernoulli: página de origem · domínio público. Folha de rosto da Ars conjectandi, Basileia, 1713: página de origem · domínio público. Lápide de Jakob Bernoulli no claustro da catedral de Basileia, foto de Wladyslaw Sojka: página de origem · Licença Arte Livre. Corte de uma concha de náutilo, foto de Florian Elias Rieser: página de origem · CC BY-SA 4.0. Figuras do blog A capa, o desenho das duas espirais e o gráfico da proporção de caras em lançamentos simulados de uma moeda são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. A tabela das notações da integral, no texto sobre o legado, foi refeita a partir de uma tabela do antigo curso de cálculo deste site.

October 14, 2026 Iniciar leitura

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Imagens históricas e fotografias Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de Maxwell, gravura de G. J. Stodart, 1890: página de origem · domínio público. A fita de tartã, a primeira fotografia colorida, de Maxwell e Thomas Sutton, 1861: página de origem · domínio público. Saturno visto de cima, pela nave Cassini, 2013: NASA/JPL-Caltech/Space Science Institute, página de origem · domínio público. Michael Faraday, fotografia da década de 1850, autor desconhecido: página de origem · domínio público. Folha de rosto do Tratado sobre eletricidade e magnetismo, Oxford, 1873: página de origem · domínio público. A estátua de Maxwell com o cão Toby, em Edimburgo, foto de Зеленый кабинет: página de origem · CC BY-SA 2.0. Figuras do blog A capa, o perfil da onda e o gráfico da distribuição de Maxwell para o nitrogênio são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. O gráfico foi calculado com a fórmula exata da distribuição. A discussão sobre os quatérnios e os vetores, no texto sobre as equações, aproveita trechos do antigo curso de vetores deste site.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Créditos das imagens

Fotografias e imagens Todas vêm do Wikimedia Commons. Usamos as miniaturas fornecidas pelo Commons, sem edição. Retrato de John Nash, foto de Peter Badge: página de origem · CC BY-SA 3.0. John Nash em 2006, em Colônia, foto de Elke Wetzig: página de origem · CC BY-SA 3.0. Imersão isométrica do toro plano, projeto Hevea, enviada por Romainbehar: página de origem · CC0. Figuras do blog A capa, o tabuleiro de Hex e o gráfico do produto dos ganhos na barganha são ilustrações originais, com versões em cada idioma do site. O tabuleiro mostra uma partida inventada, em que o vermelho completou a sua corrente.

October 14, 2026 Iniciar leitura