Geometria

A álgebra feita com quadrados e retângulos

Se uma reta for cortada ao acaso, o quadrado sobre a reta toda é igual aos quadrados sobre os segmentos e duas vezes o retângulo contido pelos segmentos. — Euclides, Elementos, Proposição II.4 Os gregos não tinham letras para as incógnitas, nem sinais de mais e de menos, nem o sinal de igual. Quando queriam falar de $a\cdot b$, falavam de um retângulo de lados $a$ e $b$; quando queriam $a^2$, falavam de um quadrado de lado $a$. As palavras “quadrado” e “cubo”, que usamos para as potências, vêm daí. O Livro II dos Elementos é inteiro feito assim: são identidades da álgebra, enunciadas e provadas como fatos sobre áreas. Os historiadores o chamam de álgebra geométrica.

October 14, 2026 Iniciar leitura

A solução de barganha de Nash

Apresenta-se um novo tratamento de um problema econômico clássico, que aparece em muitas formas, como a barganha e o monopólio bilateral. — John Nash, The Bargaining Problem (1950) Em 1948, ainda aluno de graduação no Carnegie Institute of Technology, Nash fez um curso de economia internacional, o único curso de economia da sua vida. Saiu dele com uma pergunta: quando duas pessoas negociam, como dividem os ganhos de um acordo? Os economistas achavam que a resposta dependia da psicologia, da habilidade e do blefe de cada um, e que não havia nada a dizer em geral. Nash mostrou que, se o acordo tiver de satisfazer algumas exigências razoáveis, só existe uma resposta possível. O trabalho, escrito antes de ele chegar a Princeton, foi publicado em 1950 na revista Econometrica.

October 14, 2026 Iniciar leitura

A Pascalina: uma soma feita por engrenagens

Em 1640, Étienne Pascal foi nomeado coletor de impostos da Normandia. O trabalho era somar colunas e colunas de valores, noite adentro, e o filho Blaise, então com 17 anos, ajudava. Para piorar, o dinheiro francês não era decimal: $$1\ \text{livra}=20\ \text{soldos},\qquad 1\ \text{soldo}=12\ \text{dinheiros}.$$Somar $3$ livras, $15$ soldos e $8$ dinheiros com $2$ livras, $7$ soldos e $9$ dinheiros exige três tipos de “vai um”: dinheiros: $8+9=17$, que é $1$ soldo e $5$ dinheiros; soldos: $15+7+1=23$, que é $1$ livra e $3$ soldos; livras: $3+2+1=6$. Resultado: $6$ livras, $3$ soldos e $5$ dinheiros. Faça isso mil vezes por noite e você vai errar. Em 1642, Blaise começou a construir uma máquina que não errasse.

October 11, 2026 Iniciar leitura

Amassar sem esticar: o teorema da imersão

Pegue uma folha de papel. Você pode enrolá-la num cilindro sem rasgar nem esticar: as distâncias medidas sobre a folha, com uma régua flexível, continuam as mesmas. Mas não consegue embrulhar uma bola com ela sem fazer pregas. A folha e a esfera têm geometrias internas diferentes, e Gauss provou em 1827 que essa diferença, a curvatura, não muda quando a superfície é dobrada sem esticar. No século XIX, Bernhard Riemann teve uma ideia ainda mais ousada: descrever uma superfície, ou um espaço de qualquer dimensão, só pelas suas medidas internas, sem desenhá-la em lugar nenhum. Basta uma regra, a métrica, que diz como medir o comprimento de qualquer curva. É assim que a relatividade geral descreve o espaço-tempo: por dentro, sem um espaço maior em volta.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O algoritmo de Euclides: o máximo divisor comum

O algoritmo de Euclides é o avô de todos os algoritmos, porque é o mais antigo algoritmo não trivial que sobreviveu até os dias de hoje. — Donald Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 2 (1969) Você tem duas varas, uma de 252 cm e outra de 105 cm, e quer encontrar a maior régua que mede as duas exatamente, um número inteiro de vezes. Em linguagem de hoje, quer o máximo divisor comum, $\operatorname{mdc}(252,105)$. Pode-se listar todos os divisores de cada número e procurar o maior em comum, mas com números grandes isso é impraticável. No Livro VII dos Elementos, Euclides ensina um caminho muito mais rápido.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O hexagrama místico: seis pontos numa cônica

Em fevereiro de 1640, circulou em Paris uma folha impressa de um lado só, como um cartaz, com o título Ensaio sobre as cônicas. Não trazia demonstrações, só definições, três lemas e uma lista de resultados. O autor tinha 16 anos e se chamava Blaise Pascal. Quando o padre Mersenne mostrou a folha a Descartes, a reação foi de desconfiança: Descartes achou que o rapaz tinha tirado tudo de Girard Desargues, o arquiteto e geômetra que Pascal admirava. A influência de Desargues era real, e o próprio Pascal a reconhecia. Mas o resultado central da folha era novo.

October 11, 2026 Iniciar leitura

A equação do calor e a regularidade de De Giorgi e Nash

Em 1900, no Congresso Internacional de Matemáticos, em Paris, David Hilbert apresentou uma lista de 23 problemas que, para ele, guiariam a matemática do século XX. O problema 19 perguntava, em linguagem simples: as soluções dos problemas “bem comportados” do cálculo das variações são sempre funções suaves? Meio século depois, a pergunta continuava aberta para uma classe importante de equações. Em 1956, Nash ouviu falar dela por um colega e decidiu atacá-la.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Os números primos não acabam

Os números primos são mais do que qualquer quantidade proposta de números primos. — Euclides, Elementos, Proposição IX.20 Um número primo é um inteiro maior que 1 que só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Todos os outros, como $12=2\cdot2\cdot3$, são produtos de primos. Os primos são os átomos da aritmética. Quanto mais se avança, mais raros eles ficam. Entre 1 e 100 há 25 primos; entre 1 000 001 e 1 000 100, só 6. Será que, a partir de algum ponto, eles acabam? Euclides mostrou que não, com um argumento de quatro linhas que o matemático inglês G. H. Hardy considerava um dos mais belos de toda a matemática.

October 14, 2026 Iniciar leitura

A cicloide: a curva da dor de dente

Pinte um ponto no pneu de uma bicicleta e empurre-a em linha reta. O ponto sobe, faz um arco e desce de novo até tocar o chão, uma vez a cada volta da roda. A curva que ele desenha se chama cicloide. No século XVII, ela era a curva da moda. Os franceses a chamavam de roulette. Tantos matemáticos brigaram pelas descobertas sobre ela que ganhou um apelido: a Helena dos geômetras, por causa da Helena de Troia, que provocou uma guerra.

October 11, 2026 Iniciar leitura

O legado de John Nash

Estatisticamente, pareceria improvável que um matemático ou cientista, aos 66 anos, pudesse, por meio de esforços continuados de pesquisa, acrescentar muito às suas realizações anteriores. Mas eu ainda estou fazendo o esforço. — John Nash, nota autobiográfica para a Fundação Nobel (1994) John Nash é a única pessoa a ter recebido o Prêmio Nobel e o Prêmio Abel, os dois maiores reconhecimentos em economia e em matemática. As duas metades da sua obra parecem não ter nada em comum: uma é sobre decisões humanas, a outra sobre superfícies e equações. O que as une é o estilo: atacar problemas que todos achavam impossíveis com ideias que ninguém tinha tido.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O quinto postulado e as outras geometrias

Do nada, criei um universo novo e estranho. — János Bolyai, carta ao pai (3 de novembro de 1823) Os quatro primeiros postulados de Euclides são curtos e evidentes: traçar uma reta, prolongá-la, desenhar um círculo, todos os ângulos retos são iguais. O quinto é diferente: Se uma reta, ao cortar duas outras, forma do mesmo lado ângulos internos cuja soma é menor que dois retos, essas duas retas, prolongadas indefinidamente, encontram-se desse lado.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O princípio de Pascal: multiplicar forças com água

Um elefante e uma mulher de salto alto: quem afunda mais num chão de terra mole? Pode ser a mulher. O elefante pesa cinquenta vezes mais, mas o peso dele se espalha por quatro patas largas. O da mulher se concentra na ponta fina do salto. O que afunda o chão não é a força, e sim a pressão: a força dividida pela área em que ela se apoia. $$p=\frac FA.$$A unidade de pressão é o pascal: $1\ \text{Pa}=1\ \text{N/m}^2$, uma força de um newton espalhada num metro quadrado. É uma pressão minúscula; a atmosfera, ao nível do mar, exerce cerca de $100\,000$ Pa.

October 11, 2026 Iniciar leitura