Geometria Plana

Teoremas das bissetrizes

A bissetriz de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em partes proporcionais aos outros dois lados. Quem descobriu O teorema da bissetriz interna é a proposição VI.3 dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.). O da bissetriz externa não está no texto grego: foi acrescentado como “proposição A” do livro VI pelo escocês Robert Simson, em sua edição dos Elementos de 1756, que serviu de base para o ensino de geometria no Reino Unido por mais de um século. As duas bissetrizes estão ligadas ao círculo de Apolônio, estudado por Apolônio de Perga (século III a.C.).

October 11, 2026 Iniciar leitura

Teorema de Tales

Um feixe de retas paralelas corta duas transversais em partes proporcionais. É com essa ideia que se divide uma tábua em partes iguais sem fazer contas. Quem descobriu O resultado leva o nome de Tales de Mileto (século VI a.C.), associado pela tradição à medição da altura da Grande Pirâmide pelas sombras (veja a curiosidade sobre ele na abertura do capítulo). A demonstração que conhecemos é de Euclides, na proposição VI.2 dos Elementos (c. 300 a.C.), e usa áreas de triângulos. O nome “teorema de Tales” para esse resultado é uma tradição de países como Brasil, Portugal, França, Espanha e Itália; em alemão e em inglês, o mesmo nome se refere ao ângulo inscrito na semicircunferência.

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Exercícios do capítulo 11 — Ângulos na circunferência

Exercícios e resoluções 377 Determine o valor do ângulo $x$ nos casos: Ver respostaa) $35^{\circ}$ · b) $100^{\circ}$ · c) $60^{\circ}$ · d) $25^{\circ}$ · e) $50^{\circ}$ · f) $20^{\circ}$ 378 Determine o valor do arco $x$ nos casos: Ver respostaa) $80^{\circ}$ · b) $30^{\circ}$ · c) $60^{\circ}$ 379 Nas figuras, calcule o valor de $x$. Ver respostaa) $35^{\circ}$ · b) $10^{\circ}$

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Ângulos excêntricos

Quando o vértice do ângulo está dentro ou fora da circunferência, mas não no centro nem sobre ela, o ângulo é excêntrico — e sua medida é uma média de dois arcos. Quem descobriu As fórmulas dos ângulos excêntricos não estão enunciadas nos Elementos, mas saem diretamente da proposição III.20 de Euclides (ângulo inscrito) combinada com a I.32 (ângulo externo de um triângulo). Um dos problemas mais famosos ligados a elas tem autor: em 1471, o astrônomo alemão Regiomontanus perguntou de que distância uma estátua no alto de um pedestal é vista sob o maior ângulo possível.

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Ângulo de segmento (semi-inscrito)

O ângulo entre uma corda e a tangente também mede a metade do arco. Daí vem o arco capaz, usado por navegadores para fugir de rochedos. Quem descobriu A medida do ângulo de segmento é a proposição III.32 dos Elementos de Euclides, e a construção do arco capaz — o lugar dos pontos de onde um segmento é visto sob um ângulo dado — é a III.33. O uso prático mais conhecido tem dois nomes: o holandês Willebrord Snellius (1617) e o francês Laurent Pothenot (1692) resolveram o problema de descobrir a própria posição a partir dos ângulos sob os quais se veem três pontos conhecidos, cruzando dois arcos capazes.

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Ângulo inscrito

O ângulo inscrito mede a metade do arco que ele enxerga. Um caso especial — o ângulo inscrito na semicircunferência é reto — é atribuído a Tales. Quem descobriu A tradição grega atribui a Tales de Mileto (século VI a.C.) a descoberta de que todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. Diógenes Laércio conta, citando a escritora Pânfila, que Tales sacrificou um boi para celebrar o resultado. A relação geral — o ângulo central é o dobro do inscrito sobre o mesmo arco — é a proposição III.20 dos Elementos de Euclides, e o caso da semicircunferência é a III.31.

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Ângulo central

O ângulo central tem o vértice no centro da circunferência e mede o mesmo que o arco que ele enxerga. Com essa ideia, mediu-se o tamanho da Terra. Quem descobriu A relação entre ângulo central e arco é a base da proposição III.26 dos Elementos de Euclides: em circunferências iguais, ângulos centrais iguais correspondem a arcos iguais. O uso mais famoso dela é de Eratóstenes de Cirene (c. 276–194 a.C.), diretor da Biblioteca de Alexandria, que calculou a circunferência da Terra a partir de um ângulo central.

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Congruência, adição e desigualdade de arcos

Medir um arco em graus é tão natural hoje que esquecemos de onde veio: da observação do céu. Quem descobriu Os astrônomos babilônios dividiam o caminho do Sol no céu em 12 signos de 30 partes, total de 360. O grego Hiparco de Niceia (século II a.C.) levou essa medida para a geometria e montou a primeira tabela de cordas conhecida, que relacionava cada arco à corda correspondente — o começo da trigonometria. Cláudio Ptolomeu ampliou a tabela no Almagesto (c. 150 d.C.), com cordas de meio em meio grau. A comparação e a soma de arcos de uma mesma circunferência seguem o livro III dos Elementos de Euclides.

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Exercícios do capítulo 10 — Circunferência e círculo

Exercícios e resoluções 336 Determine o raio do círculo de centro $O$, dados $AB = 3x - 3$ e $OA = x + 3$. Ver resposta$r = 12$ 337 A circunferência tem raio de 16 cm e o ponto $P$ dista 7 cm do centro. Determine a distância entre $P$ e a circunferência. Ver resposta9 cm 338 Determine o valor de $x$ nos casos: a) $s$ é perpendicular a $\overline{AB}$; b) $\overline{PA}$ e $\overline{PB}$ são tangentes à circunferência. Ver respostaa) $x = 6$ · b) $x = 9$

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Segmentos tangentes — quadriláteros circunscritíveis

De um ponto fora de uma circunferência saem duas tangentes, e os dois segmentos até os pontos de contato têm o mesmo comprimento. Quem descobriu A igualdade dos segmentos tangentes é consequência direta da proposição III.17 dos Elementos de Euclides, que ensina a traçar a tangente por um ponto exterior. Dela sai o teorema de Pitot: num quadrilátero que tem uma circunferência inscrita, as somas dos lados opostos são iguais. O engenheiro francês Henri Pitot o publicou em 1725 (veja a curiosidade sobre ele mais abaixo). A recíproca — se as somas dos lados opostos são iguais, o quadrilátero admite circunferência inscrita — foi provada no século XIX e costuma ser atribuída a Jakob Steiner.

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Posições relativas de duas circunferências

Duas circunferências podem ser secantes, tangentes, uma dentro da outra ou afastadas. A distância entre os centros decide qual é o caso. Quem descobriu Os casos básicos estão nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): duas circunferências distintas se cortam em no máximo dois pontos (proposição III.10), e, quando se tocam, o ponto de contato está na reta que une os centros (III.11 e III.12). Um século depois, Apolônio de Perga propôs o problema mais famoso sobre o tema: dadas três circunferências, traçar uma quarta tangente a todas elas.

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Posições relativas de reta e circunferência

Uma reta pode cortar uma circunferência em dois pontos, tocá-la em um só ou passar longe. A reta que só toca é a tangente. Quem descobriu As propriedades da tangente estão no livro III dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.). A proposição III.16 mostra que a reta perpendicular ao raio, na sua extremidade, toca a circunferência num único ponto, e a III.18 prova a recíproca: a tangente é perpendicular ao raio no ponto de contato. A palavra tangente vem do latim tangere, “tocar”.

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