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A aritmética do relógio

Se agora são 15 h, que horas serão daqui a 10 horas? Não são “25 h”, e sim 1 h da manhã: no relógio, depois do 24 a conta recomeça. Gauss deu nome e símbolo a essa ideia nas Disquisitiones: $$25 \equiv 1 \pmod{24}$$ Lê-se “25 é côngruo a 1, módulo 24”: os dois deixam o mesmo resto na divisão por 24. O símbolo $\equiv$ funciona quase como um sinal de igual: dá para somar e multiplicar dos dois lados.

October 10, 2026 Iniciar leitura
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A regra dos sinais

Quantas raízes positivas pode ter um polinômio? Descartes deu uma regra simples: o número de raízes positivas é no máximo o número de trocas de sinal entre coeficientes consecutivos (e, como se provou depois, difere dele por um número par). Veja com $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$. Os sinais dos coeficientes são $+\ -\ +\ -$: três trocas. Então há 3 ou 1 raízes positivas. De fato, $$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3),$$ com raízes 1, 2 e 3.

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O número $e$ e os juros compostos

Banca, trapeza, mensa: a mesa dos primeiros banqueiros, entre 1450 e 1650. Daí vêm as palavras banco e bancário.Acervo Euler’s Eyes Antes de chegar a Euler, o número $e$ passou pelos bancos. O vocabulário do dinheiro vem do latim: depositum (o que se pôs, de ponere), creditum (o que se confiou, de credere, acreditar) e juro (de jus, juris, o direito).

October 10, 2026 Iniciar leitura
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O teorema fundamental da álgebra

Na tese de doutorado, em 1799, Gauss provou que todo polinômio de grau $n$ tem $n$ raízes, desde que se aceitem os números complexos. Por exemplo, $x^2 + 1 = 0$ não tem solução real, mas tem duas complexas: $$x^2 + 1 = (x - i)(x + i).$$ Gauss também popularizou o jeito de desenhar os números complexos como pontos de um plano, o plano complexo: $a + bi$ é o ponto $(a, b)$. O norueguês Caspar Wessel (1797) e o suíço Jean-Robert Argand (1806) tiveram a mesma ideia, mas quase ninguém leu seus trabalhos; foi a fama de Gauss, a partir de 1831, que espalhou o desenho. Por isso ele também se chama plano de Argand-Gauss. E aí aparece uma ligação bonita com o polígono de 17 lados. As três raízes de $x^3 = 1$ são

October 10, 2026 Iniciar leitura
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Os ângulos dos poliedros e a fórmula de Euler

Num vértice de um cubo se encontram três quadrados, e os ângulos deles somam $3 \times 90° = 270°$. Faltam $90°$ para completar uma volta: esse é o defeito do vértice. Por volta de 1630, Descartes descobriu que, num poliedro convexo, a soma dos defeitos de todos os vértices é sempre 720°. Poliedro Ângulos num vértice Defeito Vértices Soma Tetraedro 3 × 60° = 180° 180° 4 720° Cubo 3 × 90° = 270° 90° 8 720° Octaedro 4 × 60° = 240° 120° 6 720° Dodecaedro 3 × 108° = 324° 36° 20 720° Icosaedro 5 × 60° = 300° 60° 12 720° As faces em volta de um vértice, abertas no plano. A fatia vermelha é o defeito, o ângulo que falta para completar 360°. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

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A fórmula de Euler e a "equação mais bonita"

O número $e$ pode ser escrito como uma série: $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$$ Euler teve a coragem de colocar um número imaginário no expoente. Trocando $x$ por $i\theta$ e usando $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$: $$e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + i\frac{\theta^5}{5!} - \cdots$$ Separando os termos sem $i$ dos termos com $i$:

October 10, 2026 Iniciar leitura
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Contando os números primos

Euler provou que os primos nunca acabam (veja o capítulo dele). Mas quantos são? Aos 15 anos, Gauss passava o tempo livre contando primos em tabelas, de mil em mil. Percebeu que, perto de um número $x$, mais ou menos 1 em cada $\ln x$ números é primo. Daí a estimativa: a quantidade de primos até $x$, que chamamos de $\pi(x)$, é parecida com $$\pi(x) \approx \frac{x}{\ln x}, \qquad \text{ou melhor ainda,} \qquad \pi(x) \approx \text{Li}(x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln t}.$$ $x$ Primos até $x$ $x / \ln x$ $\text{Li}(x)$ 100 25 21,7 29,1 1 000 168 144,8 176,6 10 000 1 229 1 085,7 1 245,1 100 000 9 592 8 685,9 9 628,8 1 000 000 78 498 72 382,4 78 626,1 O computador conta os primos de verdade (em azul) e compara com as estimativas de Gauss. Quanto maior x, menor o erro em porcentagem. Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 10, 2026 Iniciar leitura
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O teorema dos círculos que se beijam

Na carta de 1643 à princesa Elisabeth, Descartes tratou de quatro círculos tangentes dois a dois. Chame de curvatura de um círculo o inverso do raio, $k = \frac{1}{r}$. O teorema diz que as curvaturas satisfazem $$(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2\left(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2\right).$$ Aplicação: três moedas iguais de raio 1 se tocam duas a duas. Qual o raio do círculo que cabe no buraco entre elas? Com $k_1 = k_2 = k_3 = 1$ e $k_4 = k$:

October 10, 2026 Iniciar leitura
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A mola e as equações diferenciais

Uma equação diferencial é uma equação em que a incógnita é uma função, e a equação fala das suas derivadas. Euler organizou esse caminho num esquema que usamos até hoje: observar um fenômeno, escrever a equação, encontrar a função que a resolve e desenhar o gráfico. O esquema de Euler: fenômeno → equação diferencial → função solução → gráfico. A derivada ainda aponta os pontos de máximo e de mínimo.Acervo Euler’s Eyes O fenômeno. Em 1678, Robert Hooke resumiu o comportamento de uma mola em latim: ut tensio, sic vis, “como a extensão, assim a força”. Uma mola de constante $k$, esticada de $x$, puxa de volta com força $F = -kx$.

October 10, 2026 Iniciar leitura
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Ceres e o método dos mínimos quadrados

Em 1º de janeiro de 1801, o astrônomo Giuseppe Piazzi, em Palermo, descobriu um pontinho que se movia entre as estrelas: era Ceres, hoje classificado como planeta anão. Piazzi o acompanhou por 41 dias, até ele sumir no brilho do Sol. Com tão poucas observações, ninguém sabia calcular a órbita, e Ceres parecia perdido para sempre. Gauss, com 24 anos, criou um método novo e calculou a órbita em poucas semanas. Na noite de 31 de dezembro de 1801, o astrônomo Franz von Zach apontou o telescópio para onde Gauss indicava, e lá estava Ceres.

October 10, 2026 Iniciar leitura
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Por que o arco-íris aparece a 42°

Em Os Meteoros, Descartes explicou o arco-íris usando a lei da refração, que publicou em A Dióptrica. Quando a luz passa do ar para a água, ela desvia segundo $$\sin i = n \cdot \sin r,$$ em que $i$ é o ângulo de entrada, $r$ o ângulo dentro da água e $n \approx \frac{4}{3}$ para a água. (O holandês Willebrord Snell tinha achado a mesma lei antes, mas não publicou. Por isso ela se chama lei de Snell-Descartes.)

October 10, 2026 Iniciar leitura
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As pontes de Königsberg e o nascimento dos grafos

Königsberg em 1652, com o rio Pregel e suas ilhas. Dá para contar as pontes.Merian-Erben · domínio público A cidade de Königsberg (hoje Kaliningrado, na Rússia) era cortada pelo rio Pregel, que formava duas ilhas. Sete pontes ligavam as quatro regiões da cidade. Os moradores se perguntavam se era possível dar um passeio atravessando cada ponte exatamente uma vez.

October 10, 2026 Iniciar leitura